【万有引力】

【万有引力】

地球の半径をＲ、地表での加速度をｇ、物体の質量をｍとする。次の問いに答えよ。
無限遠での物体の位置エネルギーを０とし、地球の中心から距離ｒの点での位置エネルギーをｇを使って表せ。

地表の話じゃないのにどうしてｇが出てくるのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.6 回答者： -ok 回答日時： 2010/10/12 07:00

>どのように式を立てればよいのでしょうか？

○解１
地球の中心から x の距離にある物体に働く重力の大きさは
f = m g (R / x)^2 。
物体の位置エネルギーは力 f に逆らって物体を基準の位置 x = ∞ から x = r まで運ぶに要するエネルギーなので、
U = ∫<x=∞→r> f dx
　= m g R^2 ∫<x=∞→r> (1 / x^2) dx
　= - m g R^2 /r 。

○解２
地球の質量を M、重力定数（万有引力定数）を G とすると、地球の中心から x の距離にある物体に働く重力の大きさは
f = G M m / x^2 。
物体の位置エネルギーは力 f に逆らって物体を基準の位置 x = ∞ から x = r まで運ぶに要するエネルギーなので、
U = ∫<x=∞→r> f dx
　= - G M m / r 。
一方
g = G M / R^2
より
G M = g R^2 。
よって
U = - m g R^2 / r 。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2010/10/11 18:17

＃１、＃２の回答にあるとおりです。

ＧＭ＝ｇＲ^2
右辺は測定されている量です。

Ｍは分からなくてもＧとＭの積は分かるというのが面白いところです。
キャベンディッシュは２つの鉄球の間に働く力をねじり秤ではかってＧを求めました。Ｍはその結果分かったことです。この式を使わずにＭを求めることはできません。

ＧＭ＝ｇＲ^2はあちこちで出てきます。
第一宇宙速度、第二宇宙速度の計算でも出てきます。教科書を見てください。
静止衛星の高さを求める計算の中でも出てきます。
（ご質問の問題は第二宇宙速度を求める問題の一部だろうと思います。）

ＧとＭの値を使わなくても済みますから入試問題でもたいていはこの式を使うように数値が与えられています。

No.4 回答者： tetsumyi 回答日時： 2010/10/11 16:18

地球の質量がわかっていれば答えが出ますが

この質問では地球の質量をわからないとして、代わりにｇを使って解きなさいと言う問題です。
問題を作った人が勝手に考えただけです。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/11 16:00

こんにちわ。

「（地表での）重力は万有引力によって生じているものである。」
ということは、理解されていると思います。
言い換えれば、「地表における万有引力を重力と呼んでいる」ということです。

ですから、以下の式が成り立ちます。
（成り立ちますというよりも、このようにして考えたものを重力加速度と呼んでいるんですが。）

(地表での万有引力)＝ (重力)

ちなみに、「地表」って地球の中心からどれだけの距離にある点（の集まり）ですか？
これがわかれば式は立てれますね。＾＾

No.2 回答者： BookerL 回答日時： 2010/10/11 15:45

　地球の質量をＭ、物体の質量をｍ、地球と物体の距離をｒ とすると、万有引力は

Ｆ＝ＧＭｍ/ｒ^2　……(1)

となります。この式から位置エネルギーをもとめるには、ＧとＭが必要です。

　しかし、地表での重力 ｍｇ が、やはり万有引力であることから

Ｆ＝ｍｇ＝ＧＭｍ/Ｒ^2

となるので、ＧＭ＝ｇＲ^2 の関係があり、これを使うと一般的な万有引力 (1) は

Ｆ＝ｍｇＲ^2/ｒ^2　……(2)

と表せます。この (2) の式から位置エネルギーを計算せよ、ということですね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/10/11 14:40

地球を使っている限り, 地表じゃなくても「地表での重力加速度」を使って計算することは可能です. 地表における引力の強さを, g を

使った式と万有引力の法則を適用した式とで比較すればわかる.

この回答への補足

この問題の場合、どのように式を立てればよいのでしょうか？
アホですいません。。。

補足日時：2010/10/11 15:16