恋人と同棲を考えています。二人で賃貸物件を借り、家賃を折半して暮らそう

賃料債権は一般に不可分債権と考えられています。

住居を賃貸するという不可分債務の対価たる債権だからです。
ご質問の通りに不動産屋に申告したとしても、そのような契約は、まず不可能でしょう（よほど知識がないなら別ですが）。
このことは、賃貸人側に立って考えてみればすぐわかります。

A・Bさんは家賃8万のX物件に同居。
賃貸人とA・Bは、X物件につきそれぞれ4万円の賃貸借契約をしている。
AとBは仲たがいの上、AがX物件を退去した。
当然Aは賃料4万円を払わない。
賃貸人は、引き続き居住しているBに請求したいが、Bとの契約は4万円についてしかしていない。

つまり、同じ物件を貸しているにも拘らず、賃借人の一方的な都合で、賃料の半分しか得られないことになりかねません（まぁ、Aとの契約が全く白紙になるわけではありませんが、いずれにしてもAからの回収が困難なのは間違いなし）。
こんな状況が容易に想像つくのに（質問者さんのことを言っているわけではありませんよ。一般論です。）、そのような契約をしてくれる賃貸人はいないでしょう。

住居手当については、会社に申請するということでしょうか？
であれば、会社次第ですね（私法人でしたら、いかようにも設定できますので）。
住居手当のある会社なのでしたら、内規とかあるでしょうから、担当者に聞いてみたらいかがですか？

　大家しています。

>　二人で賃貸物件を借り、家賃を折半して暮らそうと思っている

　大家にとっては余り好ましいお客様ではありません。つまり、どちらかの方が退去されたら残った方だけでは家賃が負担できないということで、危険です。

　そもそも『同棲』というのがこの危険性のために大家には嫌われています。そのため『婚約中』ということで借りに来られますが、本当に婚約中の方には誠にお気の毒ですが、どこの大家もいまや『婚約中』と言われても『同棲』としか思いません。そのため、お二人それぞれの保証人をお願いするところが多いでしょう。

>　賃貸契約の際に、契約書をそれぞれに作成してもらえることは可能なのでしょうか。

　正直言って、好ましくないお客様にそこまでする大家はいないでしょう。そんなことを持ち出せば、余程人気のない物件ででもない限り契約自体を断られるでしょう。

２人の連名で、賃貸契約が出来るかについては、不動産会社や管理会社や大家さん次第であり、物件次第としか言えません。

また、住居手当という意味が、ハッキリとは理解できませんが、勤務先に申請するという意味で書かせて頂きますが、そのことについても、勤務先の社内規定や人事担当者などの対応次第としか書けません。