3次方程式の解の公式について
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1% …
3次方程式のカルダノの方法の途中で
『y^3+py+q=0 を解くのに
y=u+v と置き、
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
とし、
u^3+v^3+q=0
3uv+p=0
となるu, vを求める』
とあります。
一般には、必ずしも『f(x,y)+g(x,y)=0 → f(x,y)=0かつg(x,y)=0』
はいえないのに、ここではなぜそのような処理をしてよいのでしょうか?
どなたか分かる方がいましたら、よろしくお願い致します。
No.1
- 回答日時:
f(x,y)=0かつg(x,y)=0 → f(x,y)+g(x,y)=0
が成り立つから。
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
の式からu,vを求める問題ではありません。
(そもそも、1つの方程式だけでは2変数の値を決定することはできません)
u,vがどんな値のとき、
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0
が成り立つかを調べる問題です。
ご回答どうもありがとうございます。
y^3+py+q=0・・・(1)
u^3+v^3+q+(3uv+p)(u+v)=0・・・(2)
(2)を満たすu , vの値は無数にあるので、そのうちのどれをとっても良いと思うのですが、
3次方程式は必ず1つは実数解を持つので、
(2)で求めたu , vは、最低限
u+v=y が実数になるものを含むことが必要だと思うのです。
u^3+v^3+q=0
3uv+p=0
を満たすu ,vでは、
y=[-(q/2)+√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3+[-(q/2)-√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3
となるみたいですが、
yの値は例えば(p,q)=(-3,2)の時などは実数にならないような気がするのですが、
本当に必ずyが実数値にとるu ,vを選択できているのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
カルダノの時代、方程式を解くとは、
全ての解を見つけることではなく、
一つの解を見つけることを指していました。
カルダノ法は、この考え方に従って、
必要十分変形ではなく、十分変形になっています。
十分変形を行う場合、注意しなければならないのは、
前後の式変形に、十分性を損なう必要変形が
含まれないようにすることです。
何をやっているのか、解らなくなりますからね。
このことは、普段、我々が必要変形で考えるときに、
途中で十分変形が混じらないように気をつける
ことに相当します。
では、カルダノ法が全解探索に使えないかと言えば、
代数学の基本定理と因数分解の一意性から、
三次方程式の解は重根をこめて3個であることが
知れていますから、ともかく3個の解を見つけてしまえば、
それが全解なのです。
十分変形をたどって解を見つけ、最後に必要性を
別方向から確認する という流れになっています。
普段の必要推論→十分確認とは、逆の順番ですね。
ご回答どうもありがとうございます。
解が3個の件ですが、
wikipediaのページで
y=ω^k[-(q/2)+√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3+ω^(3-k)[-(q/2)-√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3
(k=0,1,2)
となっています。
一見解が3つのような気がしていたのですが、(q/2)^2+(p/3)^3が負になると、
3乗根の中身が複素数になってしまい、複素数の3乗根は解が3つで、
さらにωの累乗のkの値によって3通りあることを考えると
解の数は合計で3×3=9個になってしまうような気がするのですが。
どうなのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
>yの値は例えば(p,q)=(-3,2)の時などは実数にならないような気がするのですが、
>本当に必ずyが実数値にとるu ,vを選択できているのでしょうか?
(p,q)=(-3,2)の場合は、(u,v)=(-1,-1)です。
そうではなく、(p,q)=(-4,2)のように、
(q/2)^2+(p/3)^3<0
なら確かにu,vは実数にはならないですね。
この場合は、質問のところで示されたwikipediaのサイトに「還元不能の場合」で説明されていますが、
u,vが虚数になったとしても共役な複素数であるため、u+vは実数になります。
ただし、その実数を求めるためには、また別の三次方程式が現れてしまいます。
カルダノの公式も万能というわけではないようです。
ご回答どうもありがとうございます。
(q/2)^2+(p/3)^3<0
の場合に実数解を求めるには、また三次方程式を解かなければならないみたいですね。
3次方程式の解を出すためにはまた3次方程式を解かなかればならない…。
なんだか不思議な感じですね。
No.2さんがおっしゃられているように必要十分条件を崩した議論で、さらに「(q/2)^2+(p/3)^3<0
」の場合には実数解も求められないとなると、ほんとに正しいのだろうかという疑問が拭い去れないです…
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
←No.2 補足
(q/2)^2+(p/3)^3 が正でも、負でも、複素数の3乗根値は3個です。
3個の値どうしが、その中の1個の値に ω^k を掛けた関係になっているので、
ω^k[-(q/2)+√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3 や
ω^(3-k)[-(q/2)-√{(q/2)^2+(p/3)^3}]^1/3 で、
それぞれ3個づつの値を表せているのです。…とはいえ、その書き方は、
実数中心に考えているのか、複素数中心に考えているのかが中途半端です。
y = [ -(q/2) + √{(q/2)^2+(p/3)^3} ]^1/3 + [ -(q/2) - √{(q/2)^2+(p/3)^3} ]^1/3
ただし、2箇所の複素3乗根は、積が -p/3 となるペアを選ぶ。
とでも書いたほうが明確でしょう。Wikipedia でも、数行上には、こう書いてあります。
「積が -p/3」は、3uv + p = 0 によります。この条件によって、
一見 9個にみえる解は、実は 3個であることが解ります。
数I でよくある √ が入った式変形でも、「両辺を2乗」したら、
後で、2乗する前の式に戻って、符合を確認せねばなりませんでした。
カルダノ法では、u^3 + v^3 = -q と (u^3)(v^3) = (-p/3)^3 から、
u^3, v^3 を解に持つ2次方程式を構成します。
uv = -p/3 の両辺を3乗して (u^3)(v^3) = (-p/3)^3 としたために、
後で、uv = -p/3 に戻って、ω^k の k を確認する必要が生じたのです。
alice_44さん、大変素晴らしいご回答どうもありがとうございます。
>3個の値どうしが、その中の1個の値に ω^k を掛けた関係になっている
>ただし、2箇所の複素3乗根は、積が -p/3 となるペアを選ぶ。
>uv = -p/3 の両辺を3乗して (u^3)(v^3) = (-p/3)^3 としたために、
>後で、uv = -p/3 に戻って、ω^k の k を確認する必要が生じたのです。
このあたりの解説は、大変勉強になりました。
なかなか自力では気付かなかったと思います。
本当にどうもありがとうございました。
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