方程式(x,y)=0とは、何ですか？基本の基本が分かりません。楕円を

Question

方程式(x,y)=0とは、何ですか？ 基本の基本が分かりません。楕円を表す式のようなものだとは知っているのですが… xとyにある数を入れると０になる組み合わせの集合みたいなものですか？

lineage_of_kei · Accepted Answer

f(x,y)=0　は次のように理解します。

まず、f はx,yという2個の変数を与えて、計算結果として１つの数値を吐きだすものです。

そもそも関数とは、
ある集合を、引数（ここでいうx,yにあたるもの）とした時の結果として、それに対応する数値が１つ手に入る装置（数学的には大きな括りで写像と言います）を指します。

＊　恰好よく記号で書けば、x,yが実数集合Rの要素であるとして
＊
＊　f　：　R×R　→　R　：　x,y　∈　R　→　f(x,y)　∈　R
＊
＊　というように書けます

＊の内容が難しいと感じてしまったならば無理に理解される必要はありません。
質問者様の書かれておられる

＞xとyにある数を入れると０になる組み合わせの集合みたいなものですか？

というので正しいです。満たす（x,y）の組を座標に点をすべて打ちこんだ結果がいわゆるグラフというものです。（グラフはグラフで数学的には２次元空間への写像として定義されます。）
それを書き直しただけです。

Ｎｏ２様も書かれているようにこの方程式は式変形をして

y = g(x)

と中学校以来のメジャーな形に書くことも可能です。

可能なのですが、場合によってはうまく式変形できないこともあります。
楕円を引き合いに出されたので恐らく質問者様は高校に在学中であると思われますが、式変形をして

y = g(x)

ときれいに書けない場合もあるわけです。たとえば適当に

f(x,y)=x-e^x+sin y -log y = 0

という式を考えることにします。この式を　y=F(x) もしくは　x=G(y) の形に変形できますか？
今私が適当に考えた形なのでうまく工夫すれば可能かもしれないですが、この変形が特に計算上で意味をなさないとき、あんまり式変形ってしたくないですよね？
たぶんうまく変形できないと思うのですが、そういうときの書き方として、f(x,y)=0というものを採用します（方程式の型として）。

たとえば楕円の特殊なケースとしての円の方程式も

x^2+y^2=r^2

を

y=±(r^2-x^2)^(1/2)

と書き下すことは可能ですが、±があるので

y=f(x)=+(r^2-x^2)^(1/2)
y=g(x)=-(r^2-x^2)^(1/2)

と２ケース書き直す必要があるわけです。f(x,y)=0だと場合分けする必要がなくなるのでかなり一般的な書き方（いろんな場合分けを１つにまとめた形）ですよね？

要するにf(x,y)=0もy=f(x)も式変形できるならどっちを使ってもかまわないのだけど、計算するときにどっちの形が使いやすいかというのを、左辺を見てぱっと方程式の中身が変数が１個なのかそうでないのかというのが理解できるように書いているだけということです。

lineage_of_kei · Answer

>少し疑問が生じたのですが、F(x,y)=x+y-5とおくと、「＝０」の条件はどう表示されるのでしょうか。　F(x,y)=x+y-5=0　ですか？

に答えるには、少し実際の応用を意識してみましょうか。

たとえば、今このＦが圧力Ｐを意味しており、

Ｐ=F(x,y)

という関係にあったとします。このように書けば、ある平面（地図だと思ってもらっても結構です）の座標(x,y)に１つ圧力の値を対応させることができます。

ここでP=1000 hPaという束縛条件を課してみましょう。

すると、Ｆ（x,y）=1000 を満たすx,yをつなげばある曲線を意味します。これがいわゆる天気図における1000 hPaの等圧線（天気図に載っている線）となるわけです。

さらにこのＦの値を3次元空間のＺ軸方向にプロットすることにします。
だいたいもうよそうが付いてるかと思いますが、このＦの値を高さとして立体的な山を描くことができるでしょう。これがＦ（x,y）の全貌です。
この山を高さ一定でスパッと断面を切ったときの『ふち』がF=一定のグラフの外形なわけです。

質問者様はもう、数学としての方程式の読み方と計算のテクニックはだいたいご理解いただけていると思います。
ここで、今回の質問の答えですが、これはケース・バイ・ケースだと思います。

物理において私が示したような例だとわざわざＰ=F(x,y)と書かずに、圧力を意味するＰを使って

Ｐ＝Ｐ(x,y)

として式を書くことがあります。この書き方は具体的な式の形よりも、物理量Ｐというものがどのような変数で示されるだろうか？ということだけに焦点を絞っている書き方なのです。

計算上は　F(x,y)=x+y-5=0　で結構だと思います（どっちの書き方と0をつないでもよっぽどひねくれた人でなければ理解してくれるはず）。
さらにい言えば、Ｆを具体的に書けば真ん中の式で、それが値0に固定されているというように読むなら、この式に意味を持たせることができます。

ただ、言語に微妙なニュアンスがあるように、

x+y-5=0　　　　（中学・高校生は具体的な式のほうが好みかな？）

と書けば方程式を具体的に解ききろうとする意図を示すことになり、

F(x,y)=0　　　　（上級者はこっちのほうが好きそう）

と書けば、漠然とそういう関係（物理ではたとえば運動を束縛する条件などにあたりますが）がそこにあるということを意味していると思っています。

私は物理屋よりなので、本物の数学者さんからすれば写像というものを使った美しい書き方で関数は定義すべきだといわれるかとは思いますが、いかんせん慣れるまでは抽象的すぎて難しいので写像での定義が本格的に必要になるまでは、私の述べたような実用的なイメージでよろしいかと思います。

lineage_of_kei · Answer

下手な解説をしてしまったせいで混乱をまねいてしまいました。

＞＞例えば、x+y-5=0
＞
＞これは変形すると、 y=-x+5ですよね。 
＞y=-x+5も、F(x,y)=０ですか？

この例だとF(x,y)=x+y-5とおけば、まさしくF(x,y)=0ですし、
ｆ（ｘ）＝－ｘ＋５とおけば、y=f(x)です。

ｙ＝ｆ（ｘ）のとき、xの範囲を定義域といって、それに対応するyの値を値域というように呼びます。

F(x,y)=0は、こういう見方をすれば

値域を0に束縛(固定)したときの、関数Fの2次元（Fには2個の数字が入れれるので）定義域Aを意味します。
もちろんこの定義域に含まれるような
(x,y)∈A
を関数に放り込めばF(x,y)=0となります。

このAを図式にしたときに楕円だとかという、曲線が描けるということですね。

少しはこれで理解の助けになればいいのですが・・・

nattocurry · Answer

＞これは変形すると、 y=-x+5ですよね。 
＞y=-x+5も、F(x,y)=０ですか？

f(x)=x+1
と
y=x+1
は別物ですよ。

f(x)=x+1
y=f(x)
としたときに、
y=x+1
が成り立ちます。

でも、何が違うか解らない、というのであれば、

f(x,y)=x+y+1
を
z=x+y+1
と考えてみてはどうでしょう？
これも、
f(x,y)=x+y+1
z=f(x,y)
としたときに成り立つわけですが。

spring135 · Answer

＞方程式(x,y)=0とは、何ですか？

この書きかたは間違いです。

f(x,y)

のように変数x,yの関数f(x,y)を定義し、これが0を満たす

f(x,y)＝0　(1)

という条件を与えることで方程式となります。

(1)からyについて解いて

y=g(x)     (2)

は適切な条件のもとに(1)と同値となります。

だ円の場合

f(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2-1　　　(3)

として

f(x,y)=0

がだ円の方程式になります。

(3)をy=±b√a^2-x^2)/a           (4)

とすれば

g(x)=±b√a^2-x^2)/a            (5)

として

y=g(x)

は(3)と同値です。

aokii · Answer

xとyにある数を入れると0になる方程式のことです。
例えば、x+y-5=0 2x-y+7=0とかです。

方程式(x,y)=0とは、何ですか？ 基本の基本が分かりません。楕円を

f(x,y)=0 は次のように理解します。

>少し疑問が生じたのですが、F(x,y)=x+y-5とおくと、「＝０」の条件はどう表示されるのでしょうか。

下手な解説をしてしまったせいで混乱をまねいてしまいました。

＞これは変形すると、 y=-x+5ですよね。

この回答への補足