下の図でAD=4cm,BC=8cm,点Pは対角線の交わる点EよりEB上をBに向かって毎秒1cmの速さで進みます。APをを伸ばしBCと交わった点をFとします。
問一 三角形PADの面積が三角形PFBの面積の四倍になるの点Pが動き始めてから何秒後か。
問二 AFとDCが平行になったとき、台形ABCDの面積は三角形PFBの面積の何倍ですか。
問一は△AEDと△CEDの相似関係からEB=6と出し、また△PFBの面積:△PAD面積=1:4=BF×BF:4×4からBF×BF=4よりBF=2と出しPB:PD=6-PE:3+PEからPE=3、すなわち三秒後となりました
問二は五倍となったのですがあっていますか?
また問一は小学生に理解できない説明でしょうか?
算数に詳しい方よろしくおねがいします!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>問二は五倍となったのですがあっていますか?
答えは6倍だと思います。
四角形AFCDは平行四辺形になりますので、FC=AD=4(cm) です。
また BC=8(cm) から、 BF=BC-FC=4(cm) と分かります。
△PBFと△PADは合同(形と大きさが同じ三角形)なので PF=PA
△PBFと△ABFで底辺をそれぞれ線分PF、AFとすれば高さは共通なので △ABF=2△PBF ・・・・(1)
△ABFで線分BFを底辺としたときの高さは 平行四辺形AFCDで線分FCを底辺としたときの高さと同じなので 平行四辺形AFCD=2△ABF ・・・・(2)
(1)と(2)を組み合わせて考えると、 平行四辺形AFCD=4△PBF ・・・・(3)
(1)と(3)を組み合わせて考えると、 台形ABCD=△ABF+平行四辺形AFCD=2△PBF+4△PBF=6△PBF
>また問一は小学生に理解できない説明でしょうか?
先ず質問者さんの解答を見ますと、問題にBD=9(cm)ということが分かる情報があるように思われるのですが、いかがですか?
以下、その情報があるものとして回答します。
純粋に小学算数の枠で考えますと、文字式や平方根の計算(BF×BF=4よりBF=2)は未履修ですので理解が難しいでしょう。また 進学塾などでは教えていることもあるかと思いますが、それでもいささか複雑な気がします。
相似や相似比については、拡大図と縮図(あるいは図形の敷き詰め) で履修していますので、拡大図や縮図 という用語を使えば理解可能だと思います。
従って、相似は他の言葉に置き換え、文字式や平方根を使わない場合、次のような説明ができると思います。
1) AD∥BC で平行線の錯角が等しい(履修済み)ので △EAD∽△ECB
(△EADは△ECBの縮図になっていると説明します。)
対応する辺(ADとCB)の長さを比べると △ECBの辺の長さは△EADの辺の長さの2倍になっている。
だから BE:ED=2:1 となるので、 BD=9(cm) から EB=6(cm) ・・・・(4)
2)同様にAD∥BCから △PAD∽△PFB
(△PADは△PFBの拡大図になっていると説明します。)
△PADの面積は△PFBの面積の4倍なので △PADの中には△PFBと同じ(合同な)三角形が4つ敷き詰められている。(ここで△PADを4分割した図を見せます。)
このことから AP=2PF となっているので、△PADは△PFBの辺の長さを2倍した拡大図になっている。
だから PD:PB=2:1 となるので、 BD=9(cm) から PB=3(cm) ・・・・(5)
(4)と(5)から EP=EB-PB=3(cm)
ここまで進む時間は、点Pは毎秒1cmの速さで進むことから 3÷1=3 (秒後) となります。
No.3
- 回答日時:
台形ABCDの条件は、他に無いのでしょうか?
たとえば、∠ABC=90°の場合と、∠DCB=90°の場合では、対角線BDの長さも線分DBの長さも異なります。
それは解りますよね?
線分BDの長さが不定なら、問一は解けませんよね。
No.1
- 回答日時:
まず、問一は解けません。
ADとBCから、BEを求めることは不可能です。ちなみに、△AEDと△CEDは相似ではありません。仮に、BDが9cmという事がわかっているのなら、△ADEと△BECの相似からBE=6と出すことはできます。しかし、小学生は相似が使えないと思っていたのですが、そのあたりはどうなんでしょうか・・・。
そして問二は6倍です。
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