正規分布＋指数分布

確率変数の和の分布について、教えて下さい！

Xは平均μ、標準偏差σの正規分布に従うとします。
Yは平均 1/λ の指数分布に従うとします。

このとき、X+Yの従う確率分布を求めることは出来ますか?

Xは全ての実数に対して定義されていて、Yは正の実数に対して定義されていると思うのですが、和の分布を考えても良いのでしょうか？
また、その確率密度関数はどのようになるのでしょうか？


会社で読まされている電気関係の資料に出てきたのですが、大学時代に統計をきちんと勉強してこなかったので困ってます。
宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： k_kota 回答日時： 2010/11/28 16:54

Zは知りません。

Xについてはすべての領域で積分する必要があります。しかし、方法は自由です。
Xの値域が決まっているならそれはすでに正規分布ではないものになります。
指数分布は負の領域で0なら0ですので、まあ適当に区間を区切ることになるでしょう。
それらはあくまで積分のテクニックですので、自分で普通に解いてください。

大事なのはX+Yの確率分布は、その値となるXとYの組み合わせの生起確率をすべて足しあわせたものと言うことです。

この回答へのお礼

有難うございます。
「X+Yの確率分布は、その値となるXとYの組み合わせの生起確率をすべて足しあわせたもの」
という説明でしっくりきました。

頑張って積分してみます。

お礼日時：2010/11/30 07:30

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/11/30 01:41

Z って私の書いた #1 にしか出てこないんだけど....

さておき, 「正規分布」は全ての実数値をとることができるので「正規分布+なにか」も当然全ての実数値をとることができます.

この回答へのお礼

有難うございます。
…Z、そうですね。
正規分布＋なにものか、と理解すれば良かったんですね。

お礼日時：2010/11/30 07:32

No.2 回答者： k_kota 回答日時： 2010/11/27 07:18

まず、変数が独立であるという仮定が必要です。

電気だと雑音とかですかね？多分大丈夫だと思いますけど独立してないならその情報がないと無理です。

あとは簡単、確率密度関数の積分をすればいい。

例えば結果がaになるのはX=a-Yの時ですね。
なので、すべてのXの範囲でP(a)＝∫(Xの確率密度関数)(a-Yの確率密度関数)
を求めればいい。
a-Yの確率密度関数が分からないとかは言わない様に、シフトするだけ。
んで、上記で求めたaの関数P(a)がX+Yの確率密度関数になります。

説明は下手くそですが内容はあってると思います。

この回答への補足

有難うございます。

ところで、Zの定義域は実数全体になるんでしょうか？
Xの範囲で積分、ということですが、正負で分けなくて大丈夫でしょうか？

よろしく願いします。

補足日時：2010/11/28 08:24

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/11/27 01:20

当然和の分布を考えることはできるけど, 密度関数を解析的に求めるのは不可能じゃないかなぁ. 誤差関数 erf とかをもってくればできるけど, 「解析的に求める」ことを放棄したことにかわりはないし.

一応流れだけ書くと
Z = X+Y の分布を考えればいいので Y = Z-X. つまり Z = z における確率密度は
正規分布の確率密度(x)×指数分布の確率密度(z-x)
を z-x ≧ 0 の範囲で積分すればいい... だったかな?