万有引力のベクトル表示

質量M[kg]の質量が原点にあり、質量m[kg]の質量が、
位置ベクトルrにある。質量ｍに働く万有引力Ｆ（ベクトル）を、
r（ベクトル）、M、m、G(万有引力定数)を用いて示せ。



万有引力のベクトル表示の求め方を
できるだけ計算式を使わずに
教えてください。お願いします。

No.1 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/12/12 23:40

質量　Ｍ　とｍ　は万有引力により引き合います。

質量ｍに働く力の大きさは、
　　　　　定数をＧとして　Ｇ　Ｍｎ／ｒ＾２
　　　　　ｒ　は質量Ｍとｍの距離です。
質量ｍに働く力の方向は、
　　　　　Ｍとｍを結んだ線の上で向きは、Ｍからｍに向かう方向。

Ｍの座標は原点（０，０）でｍの座標は　（ｘ、ｙ）　とでもしておきます。

ベクトルは、大きさと方向が決まれば表示できます。

大きさの表示方法は、適当な尺度で測ったとして、適当な長さにしておけばよい。

No.2 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/12/13 00:04

間違いました。

　ｍに働く力は引力ですからＭに向かう方向でした。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
いっていることはわかるのですが
自分の中で整理がなかなか
できません(>_<)

最終的な結果が
Ｆ＝ＧＭｍ|ｒ|／ｒ^3と
なるようなのですが、
導くにはどのようにしたら
よいのでしょうか？

たびたびすみません;;

お礼日時：2010/12/13 01:28

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2010/12/13 07:48

＞最終的な結果が　Ｆ＝ＧＭｍ|ｒ|／ｒ^3　となるようなのですが、

この式の意味が知りたかったのでしょうか。

＞質量ｍに働く万有引力Ｆ（ベクトル）を、r（ベクトル）、M、m、G(万有引力定数)を用いて示せ。

この定義と上の表現は一致していません。
Ｆ，ｒをベクトルであるとすると|r|は何でしょう。

|ｒ|をベクトルの意味で使っているのではないでしょうか。
そうであれば　Ｆ，ｒ　はスカラーです。
求める式は

|Ｆ|＝－ＧＭｍ|ｒ|／ｒ^3

になるはずです。これは　|Ｆ|＝－Ｆ|ｒ|／ｒ　のことです。
Ｆ＝ＧＭｍ／ｒ^2　が引力の大きさを表しています。
|ｒ|／ｒはベクトルをベクトルの大きさで割った表現になっています。位置ベクトル|ｒ|の方向を示す単位ベクトルです。－の符号は逆向きを表していますから中心に向いていることを表します。

No.4 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/12/13 09:49

お礼

ありがとうございます。いっていることはわかるのですが
自分の中で整理がなかなかできません(>_<)
最終的な結果が

Ｆ＝ＧＭｍ|ｒ|／ｒ^3 ・・・・・・・・・・（１）

となるようなのですが、導くにはどのようにしたらよいのでしょうか？
たびたびすみません;;

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計算式を使わずに説明せよ！　との難題に混乱しました。

位置ベクトルを太字の ｒ で表したいのですが私には出来ません。
そこで多少奇妙ですが [r] がベクトルを表すものとします。

ベクトルは、大きさと向き　を同時に表します
ベクトル [r] の大きさを r とします。
力もベクトルですので同じような表現方法をとります。

すると、大きさだけについては、

　　F ＝ＧＭｍ／r^2　・・・・・・（２）

これに向きを付け加えれば、ベクトル表示になります。
（２）式の左辺のベクトル表示は、[F] となります。

次に、（２）式の右辺をベクトル表示にします。
大きさだけはわかっているので向きを表示しなければなりません。

そこで、[r]/r を掛けておきます。　これは大きさが１で、向きが原点から ｍ の方向のベクトルです。
これを単位ベクトルといって、方向だけを指示するのに使います。
この問題の場合には、m に加わる引力ですから、ｍ　から　Ｍつまり原点に向かう方向です。

従って、（２）式をベクトル表示にすれば、

　　[F] ＝ ＧＭｍ／r^2 ×（－[ r] / r )　＝　－ＧＭｍ [ r] / r^3

なお、引力 [F] は質量 m に加わる質量 Ｍ (原点）の方向の力ですから
[r]の方向と逆なので負号の－は省けません。
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(1) 式では、|ｒ| によって位置ベクトルを表しているように見えますが、そうすると右辺はベクトル
左辺の F が方向を持たない普通の数　( スカラー、scalar　) なので話が合いません。

この回答へのお礼

私の説明が悪く困惑させてしまい申し訳ないです;;
とても分かりやすい説明ありがとうございます。

お礼日時：2010/12/13 11:52

No.5 回答者： isa-98 回答日時： 2010/12/13 18:57

この付近からなら自力で計算出来る？

http://laboratory.sub.jp/phy/77.html#1