数学のベクトルの問題ですが…

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質問者：arasiinhfran
質問日時：2010/12/16 22:19
回答数：3件

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をLとし、線分DLを２：３に内分する点をMとする。また、直線AMと辺CDの交点をNとする。（１）AM→をAB→、AD→で表せ

答えは、AM→＝５/２AB→＋５/４AD→

解き方がわからないので解き方を詳しく教えてください

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回答 (3件)

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No.3

回答者： htms42
回答日時：2010/12/17 08:56

この問題にはＮは関係がありませんね。

多分この問題の後に「ＣＮ：ＮＤを求めよ」というような問題があるのではないでしょうか。

交点をベクトルで求める時の考え方を書いておきます。

ＮはＡＭの延長線とＣＤの交点です。
ＮはＡＭの延長線上の点ですからベクトルで書けば　ＡＮ→＝ｋＡＭ→　です。
ＮはＣＤをｐ：ｑに分けている点だとすると　ＡＮ→＝ＡＣ→＋(ｐ/(ｐ＋ｑ))ＣＤ→　です。
交点であるということは２つのベクトルの表現が一致するということです。

そのために　ＡＭ→　をＡＢ→，ＡＤ→　で表した時の表現を求める問題を前に持ってきているのです。
共通のベクトルＡＢ→，ＡＤ→で表している２つの表現があって同じ点を表しているのですから係数が等しいはずです。

ベクトルの向きはそろえておいた方が混乱が少ない（間違いが起こる可能性が少ない）です。
ＣＤ→、ＤＣ→は混ぜて使わない方がいいでしょう。
ＡＤ→以外はすべてＡ、Ｂ，Ｃという回り方に統一しておくというようなことが一つの方法です。
その場合はＡＣ→＝ＡＢ→＋ＢＣ→　としてＡＣ→＝ＡＤ→＋ＤＣ→としないということです。

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No.2

回答者： Kules
回答日時：2010/12/16 23:08

え～っと…Nって関係ありますかね？使う気配がないんですが。

解き方、ということなので解き方を。

・ALをAB,ADで表す
・内分点の公式を使う

で終わりなんですが…これじゃああまりにもあまりなんで。

まず、ベクトルの考え方です。厳密な意味というよりは、雰囲気です。
・ベクトルは、「移動」を表す。
例えばベクトルABというのは、「AからBに移動する」ことを表します。

・大事なのは、始点と終点。途中で寄り道したかどうかは関係ない。
つまり、AからMに直接行くための情報はありませんが、MはDL上にいるので
AからまずDに行って、そのあとDからLに向かって進めば途中にMがいることになります。
ということは、AM→＝AD→+DM→ということですね？途中でDに寄り道しても、同じAMとして表現できます。

・同じ向き、同じ長さの移動は同じベクトルとして解釈する。
今回平行四辺形ということなので、AD//BC、AD=BCです。
ということで、AD→=BC→です。

・a→=2b→なら、a→はb→と同じ向きで、長さが２倍ということ。

・引き算は、「戻って行く」と考えられる。
AB→-AC→
とあった時、-AC→はAC→と同じ長さで、向きが真反対ということになるので、「CからAに移動」と同じになります。
ということは、-AC→+AB→＝「CからAに移動（CからAに戻る）」＋「AからBに移動」＝「CからBに移動」＝CB→
となります。

以上のことを踏まえて考えていきます。

・ALを考える。
AからLに直接行く手段はわかりませんが、AからBにまずいって、BからLに行けばよいです。
BからLに行くのは、BからCに行く半分の長さです。

・DLを考える。
今回の問題はAからスタートしたいみたい（始点をAに揃えたい）なので、DLを考えるには「DからAに戻って、AからLに行く」とすればいいことになります。

・DMを考える。
DからMに行くのはDからLに行くのの何倍でしょうか？

・AMを考える。
AからDに行って、DからMに行けばいいですね。

参考になれば幸いです。