数学を、趣味で勉強している者です。宜しくお願いします。
例題
確率pで成功する(1-pで失敗する)実験を2回行なったとき
事象A:1回目が成功である (2回目は問いません)
事象B:2回の結果が同じである(2回とも成功、又は2回とも失敗)
このとき、事象Aと、事象Bは独立か、独立でないか?ですが
p=0.5のとき、P(AB)=P(A)P(B)で
p≠0.5以外では、P(AB)≠P(A)P(B)ですが
そうすると、表現として
「p=0.5のときのみ事象Aと、事象Bは独立、そしてp≠0.5以外では、独立でない」となるのでしょうか
それとも、たまたま
p=0.5でP(AB)=P(A)P(B)が成立しただけなので、
「事象Aと、事象Bは独立でない」と言うべきなのでしょうか。
ご教授願います。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
極端なケースで、「事象Xと事象Yが独立か」という問題を考えてみましょう。
XとYに何の情報もないので、「独立かどうか分からない」というのは分かりますね?話はすごく単純で、
(1)P(XかつY)=P(X)P(Y)と結論できる情報があるとき⇒独立
(2)P(XかつY)≠P(X)P(Y)と結論できる情報があるとき⇒独立でない
(3)上のどちらの情報もないとき⇒分からない
です。
1回目の実験で成功することと2回目の実験で成功することとが独立である、という前提で考えると、次のようになります。
P(A)=p
P(B)=p^2+(1-p)^2
P(XかつY)=p(p^2+(1-p)^2 )
P(AかつB)=p^2
ですから、p=0.5かどうかでP(AかつB)=P(A)P(B)となったりP(AかつB)≠P(A)P(B)となったりします。したがって、「AとBが独立かどうか分からない」です。
次に
P(C)=p
P(AかつC)=p^2
ですから、pが何であっても、常にP(AかつC)=P(A)P(C)となるので、「AとCは独立」です。
No.4
- 回答日時:
学問上どうかは知りませんが、
事象AとCについては、「p について恒等的に独立」
とでも言えば、通じる場面が多そうです。
独立性の分類として、それが何かのパラメータに依存
するか否かを指す用語は、無さそうな気がしますが…
No.2
- 回答日時:
たまたま p=0.5 で「事象Aと事象Bは独立」であり、
それ以外では「事象Aと事象Bは独立でない」と言うべきです。
したがって、pの値が判らないときは、
事象Aと事象Bが独立か・独立でないかは決められません。
この回答への補足
もうひとつ教えてください。
今、新しい事象C:2回目が成功である (1回目は問いません)
とした場合、事象Aと事象Cはpの値が判らなくても「独立」と決められますが
このように、
「pの値が判らないと独立かを決められない事象Aと事象Bの関係」と
「pの値が判らなくても独立と決められる事象Aと事象Cの関係」とは
学問上、なんらか分類したりとかするのでしょうか。
(二つの関係は、何か違う性質に思えたものですから・・)
アドバイス頂けたら助かります。
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