針金を回転させるときの電磁誘導について

長さｌの針金を磁界(大きさB、また向きは紙面の裏から表)の中で角速度ωで反時計回りに回転させるとき、
(円の半径がグルグル回転するような運動です、わかりにくくてごめんなさい)
誘導起電力の大きさはV=Bωｌ^2
誘導電流の向きは中心から外に向かう向き

V=Bωｌ^2になるのは、誘導起電力が単位時間に針金が動く面積になるからだと習ったのですが、証明というか、なぜ面積に等しくなるのか教えて下さい。

誘導起電力の向きが中心から外に向かう向きになるのはなぜでしょうか？
右ねじの法則でもうまくいきませんし、フレミングの法則かなと思ったのですが、力の向きがわからないので電流の向きがよくわかりません。
なんという法則を使っているのでしょうか。

よろしくお願いしますm(__)m

No.9 ベストアンサー 回答者： Teleskope 回答日時： 2003/09/28 07:54

（追記）

御免、/2が付くことはすでに#1で解決してたね。
おわびに。
起電力が起きる理由をフレミングの法則だけで説明するときによくある、「導体を動かすと金属の中の自由電子が動くので電流が流れたことになる、電子の電荷はマイナスだから電流は運動と反対向きに流れ、左手の法則で電子に力が加わって導体の端に寄るので…」という説明は、本当の事を言えばオトギ話だ。

Ｑ；金属中には電子と同数の正電荷（電子が出ていった後の原子）があるが？
Ａ；電子だけが動ける。原子は動けない。
Ｑ；では、正も負もイオンで動ける食塩水なら起電力は発生しないのか？
Ａ； ???


電磁気的現象が存在する原因は、第一に電荷というものが存在するから。第二に空間が特殊相対論的な性質であるから。
この二つが存在すれば必然的に起きる現象だ。特殊相対論的とは知ってると思うが、運動するものは時間が延び、長さが短縮（ローレンツ短縮）して見えること。そんな空間の中で電荷を観察すればいわゆる電磁気的現象が見える。
（もし空間に相対論的性質が無いと；電磁気現象の大部分は起きない。）
そういう事なので

>>＞親指・・力（針金の回転方向）
>>となるのはなぜでしょうか？

これらの疑問にはフレミングの法則だけでは説明できない。オトギ話にしかならない。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
♯８の回答を読ませて頂きました！
1/2を付け忘れた事と、高校生だったことは断わっておくべきでした、ごめんなさい！

＞これらの疑問にはフレミングの法則だけでは説明できない。オトギ話にしかならない

そうなんですかーってことは覚えなきゃいけないってことなんですね。
明日学校にいくので先生にも聞いてみたいと思います。

相対性理論がでてくるとは、なかなか深いですね～。
何度もお手数かけてしまって申し訳なかったです。
ありがとうございました～。

お礼日時：2003/09/28 20:23

No.10 回答者： keyguy 回答日時： 2003/09/28 17:50

「ｒ，ω，Ｂが互いに直交しているから」

は書き間違いで
「ｒ，ω×ｒ，Ｂが互いに直交しているから」
が正しいのです。
ちなみにωとＢの方向向きは同じです。

ということで以下のようになります。

ωは角速度ベクトルでありＢは磁束密度ベクトルです。
針の中心を原点にした位置ベクトルをｒとする。
針上ｒの位置に電荷ｑがある時にその電荷ｑに働く力ベクトルはローレンツの力が働き
×を外積として
ｆ＝ｑ・（ω×ｒ）×Ｂ
である。
針の先に電荷ｑを置きそれを中心まで運ぶのに要する仕事量は（・，・）を内積として
Ｗ＝∫（ｒ：針の先→針の中心）（ｆ，ｄｒ）
「ｒ，ω×ｒ，Ｂが互いに直交しているから」
ｓ＝｜ｒ｜とし
Ｗ＝ｑ・｜ω｜・｜Ｂ｜・∫（ｓ：ｌ→０）ｓ・ｄｓ
＝－ｑ・｜ω｜・｜Ｂ｜・∫（０＜ｓ＜ｌ）ｓ・ｄｓ
＝－ｑ・｜ω｜・｜Ｂ｜・ｌ＾２／２
よって
針の中心に対する針先の電位は
Ｖ＝Ｗ／ｑ＝－｜ω｜・｜Ｂ｜・ｌ＾２／２

なお電流は流れようとするが針は回路を構成しないので自由電子が動き続けることができず実際には電流は流れません。
だから電圧だけを考察するべきです。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます！

けっこう大学では難しい事をやるんですね～。
さんこうにさせていただきます
ありがとうございました！

お礼日時：2003/09/28 20:25

No.8 回答者： Teleskope 回答日時： 2003/09/28 01:25

>>左手しか覚えていないのですが、

>>左手の人差し指を磁束の変化を妨げる向きに
>>むけてあげればよいのではないでしょうか？
>>左手の法則と右手の法則ってそれだけなのかなと思ってたのですが・・

「フレミングの法則」は法則ではなく単なる暗記法だからそれで十分でしょう。なお、どの指を反転させても物理的に正しい現象に対応する。親指は運動を妨げる方向。中指は電流変化を妨げる方向。技術者はこの二つをよく使う。


>>僕は高校生なので

これは失礼、
積分を使った説明は不適切だったかな。
再提示。

導体は長さLで、片方の端を回転中心として
半径Lの円を描いてるとする。
　円の面積=πL^2

回転角速度ωと「毎秒ｎ回転」のnの関係は
　ω=2πn
から
　n=ω/(2π)

磁界の中で1秒間にn回円を描くから、
1秒間に横切る面積
　=n×円の面積
　=ω/(2π)×πL^2
　=ωL^2/2

ゆえに、起電力（電圧）Eは
E=B×横切る面積
　=BωL^2/2

となる。
出題には /2 が付いてないかな？

あるいは深読みして「導体の一端を回転中心から距離X離して回転した場合E=BωL^2になるXを求めよ」という出題かな。(解はX=L/2)


-------------------------
前回の最後2行は間違ってたので取消します。
>>針金全体としては上記のものが二つ直列接続なので
>>端から端までの電圧=BωL^2
長さ2Lの導体の中心を支えて回転すると勘違いした。
2Lの両端の電圧は打ち消し合って0であることを考えてなかった。

No.7 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/09/27 22:45

＞直流電流発電機

これは勝手に僕が命名したものです。（＾＾;)＼


＞運動を妨げる向きに力が働くから
＞磁束の変化を妨げる向きに磁束が発生するように電流が流れる

結果的には同じことだと思います。

「磁束の変化を妨げる向きに磁束が発生するように電流が流れる
↓
運動を妨げる向きに力が働く」

ミクロで見るとローレンツ力（Ｆ＝qvB）などの関係から
回転棒中の電子がＰ→Ｏ方向に力を受けて運動します。
電流はその逆向きだから外向きＯ→Ｐ。

ココからフレミング左手の法則で力は運動と逆向きです。
（つまりは運動を妨げる向きに力が働きます）
（これでいいのかなぁ）

この回答へのお礼

ありがとうございます！

>これは勝手に僕が命名したものです。（＾＾;)＼
あ～そうだったんですか～(けっこうチャーミングですねー笑)

＞ミクロで見るとローレンツ力（Ｆ＝qvB）などの関係から
回転棒中の電子がＰ→Ｏ方向に力を受けて運動します。

恥ずかしながら、ここのところがよくわからないんですが、フレミングの法則を使っているのでしょうか。
もうちょっと詳しく教えて頂けるとうれしいです。
よかったら教えて下さいm(__)m

お礼日時：2003/09/28 20:04

No.6 回答者： ymmasayan 回答日時： 2003/09/27 20:41

誘導起電力は針金が磁束を切った数に比例します。

従って針金が移動してできる図形の面積に磁束密度Ｂをかければいい訳です。

次に起電力の向きは、フレミングの右手の法則を使います。
親指・・力（針金の回転方向）
人差し指・・磁界の方向。
中指・・起電力の方向。

この問題では中指が外側を向きます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

＞親指・・力（針金の回転方向）

となるのはなぜでしょうか？

お礼日時：2003/09/27 21:14

No.5 回答者： keyguy 回答日時： 2003/09/27 19:11

前回の「電圧」についての説明には無理がありました。

その理由は
∂Ｂ／∂ｔ＝０であり
しかもストークスの定理を適用する閉回路が動いているからです。
そこで修正します。

ファラディのＶ＝－ｄ（φ）／ｄｔを使えば簡単に示すことができるのですが、
ファラディの電磁誘導法則は「定理的」法則であり
簡単に説明できるならばできるだけ「公理的」法則である
「マックスウェルの方程式」と「ローレンツの力」
だけで説明した方が好ましいので
「ローレンツの力」で説明します。

ωは角速度ベクトルでありＢは磁束密度ベクトルです。
電圧：
針の中心を原点にした位置ベクトルをｒとする。
針上ｒの位置に電荷ｑがある時にその電荷ｑに働く力ベクトルはローレンツの力が働き
×を外積として
ｆ＝ｑ・（ω×ｒ）×Ｂ
である。
針の先に電荷ｑを置きそれを中心まで運ぶのに要する仕事量は（・，・）を内積として
Ｗ＝∫（ｒ：針の先→針の中心）（ｆ，ｄｒ）
ｒ，ω，Ｂが互いに直交しているから
ｓ＝｜ｒ｜とし
Ｗ＝ｑ・｜ω｜・｜Ｂ｜・∫（ｓ：ｌ→０）ｓ・ｄｓ
＝－ｑ・｜ω｜・｜Ｂ｜・∫（０＜ｓ＜ｌ）ｓ・ｄｓ
＝－ｑ・｜ω｜・｜Ｂ｜・ｌ＾２／２
よって
針の中心に対する針先の電位は
Ｖ＝Ｗ／ｑ＝－｜ω｜・｜Ｂ｜・ｌ＾２／２

この回答へのお礼

どうもありがとうございます！
僕は高校生なのですが、ちょっとむずかしいかなって思います(＾＾；
わかるようになったら参考にさせていただきます！

お礼日時：2003/09/27 21:08

No.4 回答者： Teleskope 回答日時： 2003/09/27 07:47

　

フレミングの左手の法則： F,B,I はサウスポー
　 　親指　Ｆ　発生する力
人差し指　Ｂ　磁界
　　 中指　 Ｉ　 電流

フレミングの右手の法則： V,B,E
　 　親指　Ｖ　速度
人差し指　Ｂ　磁界
　 　中指　Ｅ　発生する電圧
　
　学校では右手の法則は教えないんだよね。左手だけ知っていればよく考えれば分かるはずだと。トホホ。
モーターは左手、発電は右手と覚えてしまおう。

『強さ1の磁界中を、長さ1の導体が、速度1で横切るとき、導体の両端に生じる起電力（電圧）は1ボルト』　となるように単位系が作られているから計算は三者をただ掛けるだけでよい。すなわち
起電力（電圧）E=B×L×V
Lは導体の長さ。L×Vは四角形であり単位時間（１秒間）に横切る面積であるから
起電力（電圧）E=B×横切る面積
とも言える。

針金の回転中心からの距離をrとすればそこの速度は
V(r)=rω
針金を細分化しておのおのにV(r)が対応すると考える。

┃→
┃→→
┃→→→　速度V=rω
┃→→→→
┃→→→→→

中心から周辺まで短い起電力（電池）が直列接続されていると考える。
中心から端までの電圧
=∫dE=∫B×dL×V(r)=B∫V(r)dr=Bω∫rdr=Bω(L^2/2)
積分範囲は中心r=0から先端r=Lまで。
針金全体としては上記のものが二つ直列接続なので
端から端までの電圧=BωL^2
　

No.3 回答者： Teleskope 回答日時： 2003/09/27 07:30

　

フレミングの左手の法則： F,B,I はサウスポー
　 　親指　Ｆ　発生する力
人差し指　Ｂ　磁界
　　 中指　 Ｉ　 電流

フレミングの右手の法則： V,B,E
　 　親指　Ｖ　速度
人差し指　Ｂ　磁界
　 　中指　Ｅ　発生する電圧

　学校では右手の法則は教えないんだよね。左手だけ知っていればよく考えれば分かるはずだと。トホホ。
モーターは左手、発電は右手と覚えてしまおう。

『強さ1の磁界中を、長さ1の導体が、速度1で横切るとき、導体の両端に生じる起電力（電圧）は1ボルト』　となるように単位系が作られているから計算は三者をただ掛けるだけでよい。すなわち
起電力（電圧）E=B×L×V
　Lは導体の長さ。L×Vは針金が単位時間（１秒間）に横切る面積であるから
起電力（電圧）E=B×横切る面積
とも言える。

針金の回転中心からの距離をrとすればそこの速度はV=rω　rが大きいほど速い。

┃→
┃→→
┃→→→　速度V=rω
┃→→→→
┃→→→→→

中心から周辺まで短い起電力（電池）が直列接続されていると考える。
中心から端までの電圧
=∫dE=∫B×dL×V(r)=B∫V(r)dr=Bω∫rdr=Bω(L^2/2)
積分範囲は中心r=0から先端r=Lまで。
針金全体としては上記のものが二つ直列接続なので
端から端までの電圧=BωL^2
　

この回答へのお礼

ありがとうございます！

＞学校では右手の法則は教えないんだよね。左手だけ知っていればよく考えれば分かるはずだと。トホホ。
モーターは左手、発電は右手と覚えてしまおう。

左手しか覚えていないのですが、
左手の人差し指を磁束の変化を妨げる向きにむけてあげればよいのではないでしょうか？
左手の法則と右手の法則ってそれだけなのかなと思ってたのですが・・

＞『強さ1の磁界中を、長さ1の導体が、速度1で横切るとき、導体の両端に生じる起電力（電圧）は1ボルト』　となるように単位系が作られているから計算は三者をただ掛けるだけでよい。すなわち
起電力（電圧）E=B×L×V
　Lは導体の長さ。L×Vは針金が単位時間（１秒間）に横切る面積であるから
起電力（電圧）E=B×横切る面積
とも言える。

これは知りませんでした！
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2003/09/27 21:13

No.2 回答者： keyguy 回答日時： 2003/09/27 02:12

電流：

針が回転すると言うことは針の中の電子が針と一緒に回転すると言うことである。
その電子にはローレンツの力Ｆが働き電子はＦの向きに短い期間であるが移動する。
電子の電荷を－ｅとし
速度ベクトルをｖとし
Ｂをベクトルとすると
Ｆ＝－ｅ・ｖ×Ｂ
ただし×は外積である。
従ってＦの方向向きは回転の中心に向いている。
電子が中心に動こうとしてるのだから電流はその反対に流れようとしている事になる。

電圧：
電界をＥとしてマックスウェルの方程式から
ｒｏｔ（Ｅ）＝－∂Ｂ／∂ｔ・・・（１）
である。
時間ｔ０からｔのあいだに針がＯＰからＯＱに動いたとする。
（１）の両辺を扇型ＯＰＱＯで面積分すると
（ストークスの定理を使う）
∫（閉曲線ＯＰＱＯ）Ｅｄｓ
＝－ｄ／ｄｔ（∫（面ＯＰＱＯ）ＢｄＳ）
＝－ｄ／ｄｔ（ｌ＾２・ω・（ｔ－ｔ０）・Ｂ／２）
＝－ｌ＾２・ω・Ｂ／２
左辺はＶだから大きさはｌ＾２・ω・Ｂ／２である。

No.1 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/09/26 23:29

どうもこんばんわ。

これは直流電流発電機ではないですか？

針がねの円があって中心Ｏとし回転棒のＯとは別の端をＰとし、
円上のある固定された一点Ａから銅線をつないで抵抗r（Ｒ）をつないで
Ｏにつないだ閉回路ＯＰＡＲを想定します。
（うーん、わかるかな。うまく説明できないよぅ。
図を乗っけているサイトを探したけど見つからなかった）
ここで∠ＰＯＡ＝ωtのとき磁束密度が閉回路を貫く面積は扇形ＯＰＡ＝l^2ωt/2分です。

磁束密度Ｂが貫いている面積はＯＰの動いた分だけ変わりますよね。
誘導起電力の公式は｜dφ/dt｜でφ＝Ｂl^2ωt/2です。
Ｖemf＝(d/dt)Bl^2ωt/2＝Bl^2ω/2　　（Ｖemfは誘導起電力の意味）
＞V=Bωｌ^2（←1/2忘れました？）

運動を妨げる向きに力が働くから、まわっている方向とは反対に力が働きます。
フレミング左手の法則からＩはＯ→Ｐとわかりますね。

（棒が磁束密度内を運動して電池となるとき、進む向きに右手をだして磁束密度の方向に指を曲げて親指が来るほうが電流です）

この回答へのお礼

こんばんは～。

＞これは直流電流発電機ではないですか？
ごめんなさい～名称はよくわかりません。
わざわざサイトを探して頂いて、お手数掛けてごめんさい！

＞磁束密度Ｂが貫いている面積はＯＰの動いた分だけ変わりますよね。
誘導起電力の公式は｜dφ/dt｜でφ＝Ｂl^2ωt/2です。
Ｖemf＝(d/dt)Bl^2ωt/2＝Bl^2ω/2　　（Ｖemfは誘導起電力の意味）
＞V=Bωｌ^2（←1/2忘れました？）

Vを間違えました！
ご指摘の通りです・・・。

＞運動を妨げる向きに力が働くから、まわっている方向とは反対に力が働きます。

ごめんなさい、ここがよくわかりません。
磁束の変化を妨げる向きに磁束が発生するように電流が流れるのかなと思ってたのですが、力との関係がいまいちよくわかりません。
よかったら教えて下さいm(__)m

お礼日時：2003/09/27 21:06