数II 指数方程式の解き方を教えてください

X + 3 = 3^x

この方程式の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/17 08:51

y=f(x)=x+3-3^x

f'(x)=1-(3^x)log(3)
f'(x)=0とするxを求めると x=xo=-log(log(3))/log(3)
x<xoでf'(x)>0, この範囲で単調増加
x>xoでf'(x)<0, この範囲で単調減少
最大値f(xo)≒2>0
f(-4)<0,f(-2)>0なので-4<x<-2の範囲に1つの解x1が存在。
f(1)>0,f(2)<0なので1<x<2の範囲に1つの解x2が存在。
解はこれらx1とx2の２つのみ。
添付図はy=f(x)のグラフでx軸との交点のx座標x1,x2がf(x)=0の2つの解となります。

x1とx2は解析的には解くことが出来ません。つまり初頭関数を使って解を表すことが出来ません。高校の数学範囲では理論的な式としては解けないが、ニュートン法などの数値計算法で近似値を求めることが出来て、
x1=-2.961356740071…
x2= 1.335085495966…
と求まります。

大学の数学レベルになりますが特殊関数「Lambert W関数W(x),W(k,x)=W_k(x)」（ランベルト関数）
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.h …
http://www.mathworks.com/help/toolbox/symbolic/l …

x1=-W(-log(3)/27)/log(3)-3
x2=-W_-1(-log(3)/27)/log(3)-3
詳しくは参考URLを見て下さい。

参考URL：http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%2B3 …^x%2Cx

この回答へのお礼

微積分を使って解くのかな・・・と少し思っていたので、説明ありがとうございました！
近似値が解なのですね。はっきりとした数字が答えかと思っていました・・。
参考のURLも参考になりました。私が作ったグラフと照らし合わせて、ここまでは、考え方あってるなというのがはっきりとわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/04/18 04:14

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2011/04/17 20:46

原題は　x + 3 = 3^x　でしょうか？

数II の段階じゃ、「不動点のおはなし」は未修得かな？
　　↓
参考 URL 「 1 次元の不動点定理」

不動点に収束させる手…

　(1) f(x) = -3 + 3^x とすれば、
　　x = f(x)
　(2) g(x) = LN(x+3)/LN(3) とすれば、
　　x = g(x)

たとえば (1) をスプレッドシートで…。
　　x[i] から f(x[i]) を勘定。
　　x[i+1] へ f(x[i]) を代入して、上と同じ勘定。
これを延々と続ければ、有効桁数内にて x[m] と f(m) が一致、つまり不動点へ収束する。
EXCEL (15 桁？) だと、x[i] = 1 からスタートして、15　回目あたりで -2.9613... に収束します。
　　　

参考URL：http://www7b.biglobe.ne.jp/~fukagawa/documents/s …

この回答へのお礼

1 次元の不動点定理に関しては、全く知識がありませんでした。参考URLも役に立ちました。まだ、完全には理解しきれていないので、何度も参考URLを読み直そうと思っています。でも、１７８-tallさんの説明で、不動点に収束させて、答えが見つかるということは分かりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2011/04/18 04:09

No.1 回答者： ID10T5 回答日時： 2011/04/17 08:47

一応確認しますが、大文字のXと小文字のxは同じ未知数ですよね？

だとしたらこの問題は解析的には解けませんね。近似解しか求められません。
グラフを描いてみれば分かります。
y=3^xの指数関数の曲線とy=x+3の交点です。1<x<2ということしか分かりません。
高校2年生で習う範囲を超えます。

この回答へのお礼

そうです、大文字と小文字は同じ未知数です。
高２レベルじゃないってわかって、安心しました。立ち読みした問題集に載っていた問題で、私が問題をきっちりと読んでなかったせいだと思います。ｘを求めるのではなく、グラフを書く問題だったのかもしれないと、今、思っています。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/04/18 04:20