数IIの質問です。 (x²+x+1)の５乗 「x³」 この係数を求める問題を階乗を用いた解き方をする

数IIの質問です。
(x²+x+1)の５乗 「x³」

この係数を求める問題を階乗を用いた解き方をするとどのようになりますか？

x²と普通のxがあるので、どのようのように解いたらいいのかよく分かりません。途中式も教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/26 14:14

(x²+x+1)⁵=(x²+x+1)(x²+x+1)(x²+x+1)(x²+x+1)(x²+x+1) 。

これを仮に AxBxCxDxE とすると、
x³ は、 x² を1つと x を1つ、と x を3つ の場合だけです。
前者の場合は、x² は A,B,C,D,E の内の其れか 1つですから 5通り。
x は 残りの 4つの中から 1つですから 4通り。合わせて 5x4 で 20通り。
後者の場合は x を選ばないで 1 を選ぶのが 2つ と云う事ですから、
組合せで ₅C₂ 又は 樹形図で 10通り、
全部合わせて 20+10 で 30通り、各項の係数は 1 ですから、
x³ の係数は 30。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/26 09:19

微分法を使えれば、こんな手もある：

　　f(x) = (x^2 + x + 1)^5
と置いてマクローリン展開すると
　　f(x) = f(0) + (f'(0)/1!) x + (f''(0)/2!) (x^2) + (f'''(0)/3!) (x^3) + ...
だから(f'''(0)/3!)がコタエ。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/26 00:47

>(x²+x+1)の５乗 「x³」

>この係数を求める

日本語が変だが
多分
(x²+x+1)^5を展開した多項式の
x³の係数を求めよ

という事だと思うので

掛け合わされる
x^2とxと1の個数をa、b、cとすると
xの次数が3になるのは
a=0、b=3、c=2
a=1、b=1、c=3
の2パターンしかない。

5C0×5C3×2C2=1×10×1=10
5C1×4C1×3C3=5×4×1=20
計30通りだから
係数は30

因みに
組み合わせ nCr=n!/{r!(n-r)!}

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/25 22:55

誤字訂正：

(x^2 + x + 1)^5 = Σ[i+j+k=5] (5!/(i! j! k!)) (x^2)^i ・ (x)^j ・ 1^k
　　　　　　　= Σ[i+j+k=5] (5!/(i! j! k!)) x^(2i+j).

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/25 22:54

階乗つか、多項定理を使うとね、

(x^2 + x + 1)^5 = Σ[i+j+k=5] (5!/(i! j! k!)) (x^2)^i + (x)^j + 1^k
　　　　　　　= Σ[i+j+k=5] (5!/(i! j! k!)) x^(2i+j).
x^3 の項が生じるのは、2i+j=3 になる (i,j,k) = (1,1,3), (0,3,2) のとき。
その場合の項を集めると、
係数は 5!/(1! 1! 3!) + 5!/(0! 3! 2!) = 120/6 + 120/12 = 30.

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/25 22:22

(x²)²x・1²の係数が

5C2×3C1=30
(x²)¹(x)³・1¹の係数が
5C1×4C3=20
合計で
求めるべき答えは50