Nフィボナッチ数列の一般項について

つぎのようにNフィボナッチ数列を定義します。ただしNは自然数。
F(１)=F (2)=．．．=F(N)=１
F(N+n)＝F(N)+F(N+1）+．．．F(N+ｎ-1)　（ｎ≧0）－(1)

またｘ＾N=Σ[k=０～N-1]ｘ＾ｋのN次方程式のN個の解をA１,A２、．．．ANと名付けます。

N=2のとき　フィボナッチ数列になりますが、
(1)を変形してF(n+2)＝（A1+A2）F(n+1)-A1A2F(n)
よって
F(n+2)-A2F(n+1)＝A1｛F(n+1)-A2F(ｎ)｝
F(n+2)-A1F(n+1)＝A2｛F(n+1)-A1F(n)｝
２つの漸化式ができて、ともに右辺を等比数列の和として計算できますので
２つを連立して、F(n+1)について解くと一般項が得られます。

N=3のときも同様にして、一般項が求まります。

そこでNが任意の自然数でもこれは成り立つのでしょうか？
解と係数の関係からN個の連立方程式が導けるとしてもよいのでしょうか？

どなたか教えてください。お願いします。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/05/05 23:09

「N が任意の自然数」のときに, どのような式を考えているんだろうか?

あと, #1 でも指摘されてるけど, A1～AN に同じ値があると困るね.

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2011/05/05 19:56

N次方程式の解をA1,・・・,ANとして、

元の漸化式を解と係数の関係から同様に変形して例えばA1を含まない項を全て左辺に移項してやれば、
F(n+2)-G(n+1)=A1(F(n+1)-G(n))
の形になるようですね。

最初に移項するのをA2を含まない項などに変えれば、重解がない限りN個の方程式が出てきます。

この回答への補足

>>F(n+2)-G(n+1)=A1(F(n+1)-G(n))

このようになることが解と係数の関係から自明なのかな？と考えています。

＃２にもあるようにN次方程式に重解がないことが条件なのでしょうか？

ところで、N次方程式に重解があるかどうかは2次方程式の判別式のように確認する方法はあるのでしょうか？

補足日時：2011/05/11 00:39