No.2ベストアンサー
- 回答日時:
正四面体の体積の求め方は、
三角錐の体積公式
正四面体の底面積をS,正四面体の高さをHとしたとき
V=S・H/3 …(1)
であることを利用します。
底面積Sは三角形ですから、
三角形の面積公式
三角形の底辺をA,三角形の高さをhとすると三角形の面積公式
S=Ah/2 …(2)
です。
(1)と(2)から
V=A・h・H/6 …(3)
一辺の長さが1の正四面体の場合
A=1, h=√3/2, H=√(3/2) …(4)
なので
V=1・√3/2・√(2/3)/6
=√2/12 …(5)
となります。
一辺の長さがaの正四面体の場合
相似比から (4)の三角形の一辺の長さや高さがa倍になるので
A=a, h=(√3/2)a, H=(√(3/2))a …(6)
これを(3)に代入すると
V=a・(√3/2)a・√(2/3)a/6
=(√2/12)a^3 …(7)
となって、(5)と(7)を比較すると
相似比1:aの4面体の体積比は 1:a^3 (1:aの三乗)
となることが分かる。つまり、(a^3) 倍になることが分かる。
この体積の求め方の詳細については参考URLをご覧下さい。
同URLには、正四面体の体積を求める方法として、
(6)のHを求めることなく、一辺の長さaの正四面体の体積を、
一辺の長さ(√2)a の立方体の体積から4個の直角三角錐の体積を差し引いて求める
より簡単な方法を紹介していますのでぜひご覧になって、考え方を覚えて下さい。
そうすれば、正4面体の体積公式を忘れても、簡単に正四面体の体積を求めることが出来ると思います。
参考URL:http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/ …
No.3
- 回答日時:
一辺の長さが1の時の正四面体の体積は求まったのでしょうか。
一辺の長さがaの時の正四面体の体積はどうでしょう。
両方とも求まっているのであれば、自動的にa^3倍になっていることは分かるはずです。
この問題は
一辺が1の時の体積を求めることの方が簡単だと考えて
相似形だとa^3倍になることを使うことで一辺がaの時の体積を求めるようになっています。
「相似形だと体積は(一辺の長さの比)^3倍になる」ことはすぐにわかるだろうという前提です。
もしそういう前提があなたにとって分かりにくいというのであれば正直に一辺がaの時の体積を求めればいいのです。立ち往生する必要はありません。
(別)
一辺の長さが1の立方体を考えます。上面の正方形をABCD、下面の正方形をA'B'C'D'とします。(Aの下がA'です。)
対角線ACを引きます。
対角線の両端、A,Cから側面の正方形に対角線を引きます。
B'とD'に2本ずつ集まります。対角線B'D'を引きます。
対角線の長さはどれも√2です。
頂点ACB'D'を結んだ図形は一辺が√2の正四面体です。
体積は1/3です。
立方体1つから正四面体を1つ切りだせます。
体積が1/6の三角錐を4つ切り落とせばいいのです。
立方体の一辺の長さの√2倍が正四面体の一辺の長さです。
立方体の一辺の長さを2にすれば立方体の体積は8になります。
正4面体の体積も8倍になるのは分かるのではないでしょうか。
No.1
- 回答日時:
正四面体の体積は底面積*高さ/3で与えられます。
一辺の長さがa倍になったら、底面積は何倍になるでしょう?また、高さは何倍になるでしょう?正四面体ではなく立方体だったらどう考えますか?また、一辺の長さが2の正四面体を、一辺が1の正四面体に切り分けるといくつになるでしょう?
みたいなことをいろいろ考えてみるとだんだん規則が見えてくると思いますよ。
この回答へのお礼
お礼日時:2011/06/07 00:10
回答ありがとうございます。
つまり、a倍、体積はa三乗ということになるのでしょうか?
例えば、相似比a:1の二つの正四面体とすると、面積の比はa二乗:1、体積の比はa三乗:1と同じことが言えるわけでしょうか?
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