「方程式」、「関数」とは

「方程式」という言葉は、直線の方程式、放物線の方程式、などと使いますが、「方程式」を辞書で調べると、「未知数を含み、その未知数に特定の数値を与えた時にだけ成立する等式」などと書いてあります。
「直線の方程式」などは慣用的な言い方というか、それはそう呼ぶもの、みたいなことなんでしょうか？
たとえば、曲線Ｃ:y＝x^3に対して、y＝x^3のことを曲線Ｃの方程式と呼ぶのはおかしいでしょうか？

あと、一般的に、関数y＝x^2+2x+2などと言いますが、関数ってx^2+2x+2を指しているんでしょうか？x^2+2x+2が長いからyと置いているってことですか？

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2011/07/01 00:22

関数については下記を参考にしてください。

　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_ …

「直線の方程式」とは、yの値が直線である、と言うことではないでしょうか。

> たとえば、曲線Ｃ:y＝x^3に対して…
これは、C=x^3であり、またy=x^3です。つまり、曲線Cの方程式であり、曲線yの方程式でもあります。

> x^2+2x+2が長いからyと置いているってことですか？
そうではなく、yの値と変数xの関係を示しているだけです。
変数xの値に対して、yの値がx^2+2x+2の値をとる、と言う意味です。

No.2 回答者： buenaarbol 回答日時： 2011/07/01 06:05

1)方程式

＞「直線の方程式」などは慣用的な言い方

そんなことはないと思います。
例えば例で挙げられている曲線Ｃを考えた時、これはx,yの二つが未知数で、それぞれ特定の値を代入したときにだけ成り立つ、立派な方程式です。例えば（0.1）では成り立ちませんが、(1,1)や(-1,-1)では成り立ちます。

C: y-x^3=0
と考えてみるとどうでしょうか？方程式っぽくないですか？

2)関数
私の理解では、f(x) = x^2+ 2x + 2　は一変数 x についての「関数」で、y = f(x) =x^2+ 2x + 2は二変数 x と y についての「方程式」です。

y = x^2+ 2x + 2を「関数」といったところで特に誤用だとは思いませんが。

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2011/07/01 14:41

関数とは、大雑把にいうと、数から数への対応のしかたのことです。

対応のしかたが y＝x^2+2x+2 のように式で表されたものをよく見るわけですが、これだと対応のしかた（ x から y へ）が記述されているので、この式は一つの関数を表しています。

多くの人が関数といえば関数のグラフを思い描きますが、それは数の対応のしかたを図示したものと思ってよいでしょう。

関数のグラフの中には、高校で習うものに限っても、それを図形として見た場合、基本的な曲線であるものがいくつかあります。たとえば、一次関数のグラフは直線ですし、二次関数のグラフは放物線ですし、正弦関数のグラフは正弦曲線です。

一方、x-y 平面で扱う図形は、ある方程式の解の集合として表されます。
たとえば x^2 + y^2 = 1 をみたす点 (x, y) の集合を x-y 平面に図示すれば円になります。そういうわけで、この式は、中心が原点で半径が 1 の円を表す方程式、のようにいわれます。一般に、「図形の方程式」や「図形を表す方程式」という使い方をします。

質問にある「曲線C」ですが、曲線という言葉が出てくる時点で関数のグラフというより図形として見ています。したがって、y＝x^3のことを曲線Ｃの方程式と呼ぶのはおかしいことではありません。

No.4 回答者： katiguse07 回答日時： 2011/07/01 17:06

方程式っていうのは、英語でequationと言います。

これに似た単語ってありますよね。

equal=イコール　まさに’＝’これです。
また、equationの意味に、等しくすること、等しい状態。
という意味がございます。

で、方程式と呼ばれるものそれぞれに焦点を当ててみて
ください。

からなず

（左辺）＝（右辺）という形で与えられているはずです。

ということは、これは単純に考えると、
左も右も同じなんだということですね。

方程式というのは、このようにあらわされる式のことなんです。
よく数学の問題に出てくる。　２ｘ＋４＝５のとき、ｘの値を
求めよ。なんてことありますが、これは、方程式というものの
ほんの一部。計算方法のみ、に焦点を当てているもので
方程式そのものを理解していなくても、解けてしまうもの
なのです。だから数学を嫌う人がいるわけですね。点は
とれるんですけどね＾＾

で、次、関数を見てみます。y=ax^2+bx+cとあらわすことが
できますよね？これも、方程式なんですよ。

じゃあ、何で関数なんて言われているんでしょうか？
左辺のy と、右辺のax^2+bx+cは、同じ値であることに
間違いはないんです。

関数の教科書定義によると、「ｘが変化するごとに、ｙの
値が定まる」などと書いてますが、＝で結ばれているん
ですから、そんなの当たり前です。

だから、関数を方程式と読んでも、別にかまわないんです。

ただ、関数は方程式と違い、左辺と右辺が等しくなるような
値を求めることを目的とするのではなく、
まさに、ｘが変化することによって、結果出てくるｙという値は
どのようなものになるのかを知るために使われる式だと
いうことです。

両者はほとんどの場合、その計算過程において一致するでしょう。

突っ込んでしまえば数列だってそうです。初項３　等差２の等差数列
なんて、数列だといいますが、実際には一次関数であり、
ｎが１番目、２番目、３番目・・・・ｎ番目のときの値をｙとしてしまえば
方程式がそれぞれに成り立ってしまいます。

方程式は個別個別の＝であらわされている式。関数はｘの変化に
よってｙがどのような答えをはじきだすか？
数列は、規則性がまず最初に来ており、ではN＝～番目のとき、
という順番や、順番に回ってくる数字を割り出すことを目的と
しているわけですね。

みんな方程式であり、一次関数、あるいは２時間数、３時間数であり、
さらに言えば数列であったりするわけです。ただ、方程式は文字が
一つでもOKで、関数というのは大体最低ｙ、ｘと２文字あるのが普通です。
しかし、ｙ＝５とかも普通に関数なので、あまり大差ないと思います。

だから、教科書の言うことをそのまま信じないほうがいいですね。

直線の方程式。となると、直線＝一次関数みたいなものです。

一次関数は座標とセットでしばしば考えますが、原点をその
直線上に持ってきてしまえば大体成り立ちますでしょう。

で、一次関数っていえば方程式です。ですから直線の方程式
っていうのは、一次関数であり、そして数列でもあるわけです。

辞書で調べると未知数を含む。と書いてあるそうですね。

確かにそうでしょう。なぜなら、５＝５なんてもう意味ないからです。

２＋３＝３＋２　とかもうわかりきってます。
＝にする必要がもはやないため方程式ではなく、すでに数字が決定
されているためｙもｘも変化することがなく、順番や規則性のかけらも
ないため数列ではない。ただそれだけです。

直線の方程式、というのは、ｙ＝２ｘ＋５というのを図示すると直線になる。
んで方程式だねーっていうことをその、最初に書いた人がそういう表現を
選んだだけだって思うんですね。で、その後その式でどうするのでしょうか。

他の直線との交点をもとめるのでしょうか。目的によって建てる式というのが
違うだけで、３つは大して変わらないというのが実情です。

数列もグラフにかけちゃいますし。

で、ｙ＝として、ｙを一文字としているわりに、右は何やら複雑なのが
関数の特徴ですよね。方程式だと、ｘ^2+y^3=s2+fafefjieajfoefなど
やっちゃってもよさそうです。

ぶっちゃけて言えば、不確定な数字であれば、xでもyでなくてもOKです

つまりx=y^2+y+1も立派な関数です。

ですからyというのは、たまたま選ばれた文字なわけですね。
ｘもそうです。

関数は、ｘが変化すればどんな値が出て、その値の連続は
どんな曲線、あるいは直線を描くのだろう。というある種
別の目的のために用意されたものにすぎないのです。
y=x^2+ｘ などとあらわされて初めて関数です。

確かに右側だけでも答えは出てきますから、その答えを
後からこれがｙだ。と読んでやればOKです。
長いからｙと置いているのではなく、必然的にｘをなんかに
定めてしまえば出てくる答えがｙだから、最初からｙとおいているし
関数が２個あるときに、連立方程式でｘの解等を導く際、
等価のｙがあると式を立てやすいので置かれているだけだと思います。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2011/07/01 19:56

関数 y＝x^2+2x+2 という言いかたは、厳密には間違いです。

x の関数なのは、その式の右辺であって、
式自体は、変数 y と右辺の関数の関係を表す方程式です。
f(x)＝x^2+2x+2 でも、同様。
この式は、左辺の関数と右辺の関数が等しい事を表す
方程式であって、式そのものが関数な訳ではありません。
…というような杓子定規なことは言わないでも
意味は解かるだろ？ということで、通常、
「関数 y＝x^2+2x+2」とか言ってしまっているのです。
コンビニの店員が「一万円札からでよろしかったですか？」
と言っても、いちいち「その過去形はオカシイ」と注意しないのと
同様に、通じることに納得して他人とは仲良くしておくのです。

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2011/07/02 07:03

alice_44 さん

先に答えている hiccup です。
そうだったのですね。調べて、正すべきところは正して、更新しておくべき記憶は更新しておきます。
ありがとう。

No.7 回答者： IveQA 回答日時： 2011/07/02 14:08

例えばちくま学芸文庫刊「オイラーの贈物　人類の至宝e^(iπ)=-1を学ぶ」（吉田武著）では次のように書かれている。

方程式：　「ある特定の値でなければ、等号の成立しない式」
関数：　　「関数とは与えられたxに対して、yを唯一つ定める規則のことであり、それに名前―例えばfなど―を附けて、以下のように表す．y=f(x),あるいは f:x|→y．（中略）なお、関数は、“入力と出力の間に立って機能するもの”という本来の意味からは“函数”と書かれるべき用語である．」

honey-panさんが高校生なら、高校の教科書に次にような定義が書かれているはず。
啓林館刊「高等学校　数学I」（山本芳彦編）p56
「２つの変数x,yがあって、xの値を定めると、それに対応してyの値がただ１つ定まるとき、yはxの関数であるという．」「一般に、yがxの関数であることを、次のような記号で表す．y=f(x)　また、関数y=f(x)を、単に、関数f(x)ということがある．」

定義に立ち返ってどう解釈すれば矛盾なく理解ができるのかを考えた方が自分のためになる。
回答者にはいろいろな人がいるので惑わされないように！

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2011/07/02 23:23

「yがxの関数であることを、次のような記号で表す．y=f(x)」では、y=f(x) の y を関数と呼び、

「関数y=f(x)を、単に、関数f(x)ということがある．」では、y=f(x) 自体を関数と呼んでいる。
定義の詳細以前に、文章そのものが混乱していることに気づかないだろうか？
その説明では、いったい何を「関数」と呼んでいるのか。そんなことで、用語の定義ができるのか。
検定教科書に、数学書と呼べる水準のものは、めったに無い。