速さの平均　なぜ？　とても根本的な質問

Question

こんにちは、とてもとても平易なお話なのですが、理解に苦しんでおります。

ある距離Lをもつ区間があります。この区間を往路は時速10km　で　復路は時速20km　で走行したとします。すると平均の速さはいくつになるでしょうか。

始め、私は単純に、「走行距離は往路・復路でまったく同じなのだから、10と20の平均値で時速15kmだろう」と思いました。しかし、よく考えると、もしくは物理の教科書をみると違いました。
平均速さの定義は、走行距離を走行時間で割ったもの、です。
まず、往路にかかる時間は、L ÷10  復路にかかる時間はL ÷ 20、往路復路の合計の走行距離は2L。したがって、平均速度は　2L ÷ (L ÷ 10 + L÷20）
で、計算すると、時速13kmが求まり、単純な10と20の平均値である15とは異なります。

計算上、定義上でこうなるのは良く分かるのですが・・・
なぜこうなってしまうのか、困惑しています・・・

時速13kmは物理の定義上、このように求まりましたが、

一体・・・時速15kmは何者なのでしょうか。
時速15mの物理的な意義を見出したいのですが、いかがでしょうか。

もしや　「平均速さ」　と　「速さの平均」　の違いでしょうか。

なお、小生は高校物理、大学受験物理は理解できる者です。

大変初歩的な疑問であることは重々理解しておりますが、どうかご教示
頂ければと思います。

宜しくお願いします。

heboiboro · Accepted Answer

何で重みづけして平均を出すかということの違いです。

距離Lをまず時速10kmで、次いで時速20kmで走ったとします。
ふつう「平均の速さ」と言われるものは、これに時間で重みづけして平均を出します。
すなわち、 (10*(L/10)+20*(L/20))/(L/10+L/20) = 40/3 となります。

一方で、質問者さんが出した平均は、距離で重みづけして平均しています。
いまはどちらも等距離Lを走っていますので、これは単に (10+20)/2 = 15 となります。

時間で重みづけして平均するということは、たとえば走っている人の主観で全体の速度の中間くらいの値を意味していると、大雑把には考えることができます。
また実用的にはこちらの方が大事なので、こちらが「平均の速さ」の定義になっています。

距離で重みづけして出した方の平均は、こちらは意味づけが難しいですね。特殊な状況で使えなくはないかもしれませんが、走っている人の主観的な中間の速度とは異なるので、やや不自然に感じられてしまう気がします。

結局、時間で重みづけした方が普通使われるというのは、実用的な問題と、そちらの方が主観に合うという感覚的な問題だと思います。


ちなみに、少し問題を変えて、まず時間Tのあいだ時速10kmで走って、次に同じ時間Tのあいだ時速20kmで走ったとします。
このとき、素直に出した平均も、定義通りに出した「平均の速度」も、同じ15kmになります。
一方で距離で重みづけして平均を出すと、 (10*(10T)+20*(20T))/(10T+20T) = 50/3 ≒ 17 となります。
この場合に平均の速度を15kmとするのは自然な感覚だと思いますが、それを時間で重みづけした平均と捉えれば、元の問題でも時間で重みづけした平均をとる方が自然な気がしてくると思います。

178-tall · Answer

>[例題]　はじめ時速 V1 で T1 時間走行し、ついで時速 V2 で T2 時間走行した。さて、平均時速は？
>[答案]　行程 V1*T1 + V2*T2 を所要時間 T1 + T2 = T で割り算したものを「平均時速」Vm とする。
>　　Vm = (V1*T1 + V2*T2)/(T1 + T2)
　　　　　↓ の続き。

k = T1/(T1 + T2) と置くと、T2/(T1 + T2) = (1-k) で、
　　Vm = k*V1* + (1-k)*V2
V1, V2 の線形結合で、なにやら「平均」っぽいが…。

これが V1, V2 の「調和平均」になるのは、V1*T1 = V2*T2 のとき。
「～平均」のコトバに振りまわされぬようご用心。

…なんてハナシ、聞き飽きましたか？ けど納得いくまでは、繰り返し刷り込むしか…。

178-tall · Answer

「平均時速」は、異なる走者の平均を考えるほうが自然なのかも。

行程 L を時間 T で走行した場合、途中での速度変化を無視した「平均時速」Vm は、
　　Vm = L/T
とするのがふつうだとしましょう。

同じ行程 L を三者に走らせ、それぞれ走行時間 T1, T2, T3 だったときの「平均時速」Vm は？
　　L = V1*T1 = V2*T2 = V3*T3
総行程 3L に時間 (T1+T2+T3) を費やしているので、
　　Vm = 3L/(T1+T2+T3) = 1/{(T1/L + T2/L + T3/L)/3} = 1/{(1/V1 + 1/V2 + 1/V3)/3}

…てなハナシは、聞き飽きましたか？
けど納得いくまでは、繰り返し刷り込むしか…。

178-tall · Answer

ミスタイプ訂正。

(1) 右辺の分母は、
　　(T1 + T2)/(2*V1*T1) = {(1/V1) + T2/(V1*T1)}/2
だが、前提から T2/(V1*T1) = 1/V2 なので、
　　{(1/V1) + (1/V2)}/2
つまり、時速 V1, V2 の「調和平均」。

178-tall · Answer

「時速の平均」って、気軽に勘定できないような気もします。

[例題]
　はじめ時速 V1 で T1 時間走行し、ついで時速 V2 で T2 時間走行した。さて、平均時速は？

[答案]
　行程 V1*T1 + V2*T2 を所要時間 T1 + T2 = T で割り算したものを「平均時速」Vm とする。
　　Vm = (V1*T1 + V2*T2)/(T1 + T2)
　結構ヤヤコシ。

>ある距離Lをもつ区間があります。この区間を往路は時速10km　で　復路は時速20km　で走行したとします。すると平均の速さはいくつになるでしょうか。

…と具体的に訊かれれば、往復路の行程が同じ、つまり V1*T1 = V2*T2 。
　　Vm = 2*V1*T1/(T1 + T2) = 1/{(T1 + T2)/(2*V1*T1)}　　　…(1)
となる。
(1) 右辺の分母は、
　　(T1 + T2)/(2*V1*T1) = {(1/V1) + T2/(V1*T1)}/2
だが、前提から T2/(V1*T1) = 1/T2 なので、
　　{(1/V1) + (1/V2)}/2
つまり、時速 V1, V2 の「調和平均」。

時速の平均は、気軽に「算術平均」で求められないわけです。

chiha2525 · Answer

例えば、１０ｋｍ／ｈの車と２０ｋｍ／ｈの車の２台（だけ）が走っていたとして、
その道をはしる車の平均時速は？という問題なら１５ｋｍ／ｈですね。

この問題の場合、往復という言葉で、同じ距離を走るという重み付けをされています。
つまり１０ｋｍ／ｈの車は２０ｋｍ／ｈの車より２倍の時間走らなければならないわけです。

これを上のような問題にすりかえたならば、
１０ｋｍ／ｈの車２台と２０ｋｍ／ｈの車１台が走っていたとして、
その道をはしる車の平均時速は？という問題になるでしょうか。
答えは概算で１３ｋｍ／ｈです。

FT56F001 · Answer

「平均」するのはいくつかのデータの代表的な値が欲しいからですね。
何をもって代表というのか，場合によると思います。

速さ10km/hで50kmの距離を走り，速さ20km/hで同じ距離を戻った。
平均速度は調和平均を使って，13.3km/hと出します。
トータル100kmの距離を走るのに必要な時間を求めるのに便利だからです。

速さ10km/hで5時間走り，速さ20km/hでさらに5時間走った。
平均速度は算術平均を使って，15km/hと出します。
トータル10時間走った距離を求めるのに便利だからです。

tance · Answer

ちゃんとした回答は他の方のを見ていただければ良いのですが、
もっと直感的にピンとくる説明はないかと考えました。

例えば、行きのスピードは10km/hで、帰りは0km/hだったとしましょう。
帰って来られない（帰るのに∞の時間がかかる）のに平均スピードは
5km/hですか？　いつまで待っても帰って来ないなら平均スピードは
0km/hとは思えませんか？

やはり、時間を考えるか、考えないかの違いです。

cozycube1 · Answer

この問題については、(20km/h+10km/h)/2=15km/hというのは、いわば物理学の誤答として期待されている典型的なものでしょう。問題に出てきた数値（ｖとかの文字でもよい）だけを使って、思わず解いてしまうと、こうなるという感じですね。

実際には、お示しのように問題文に含まれない距離Lというものを考慮する必要があるわけです。問題文に明示されていないけど、状況をよく考えて必要な値やパラメータ（Lとかの文字でもよい）を、全て過不足なく揃えて、計算式を作ってやらないと、正しい答えにはたどり着けないということです。

問題が違えば、(20km/h+10km/h)/2=15km/hとしてよい場合もあります。
　たとえば、質量mの物体が二つあり、それぞれ速度20km/h、10km/hであるとして、その運動量を考えるとします。これは単位を省略して書くと、20m+10m=30mですね。
　これと同じ運動量を持つ2倍の質量2mの物体の速度はいくらか求めてみましょう。途中を端折った書き方をすれば、15×(2m)=30mですから、速度は15km/hです。

要は、平均なんだからこうだ、というアプローチをしてはいけなくて、平均と言われたら、その平均は何を以て正しい平均とすればよいのか、それを物理現象の中から考える必要があるわけです。

rnakamra · Answer

"平均"という言葉をより厳密に考えないといけません。

連続関数の平均は積分を使わないといけないので面倒なので、ここでは離散的にサンプリングしたものの平均を考えて見ましょう。

離散的なサンプリングとして以下の2方法が考えられます。

1.一定距離間隔毎に速さを求めてその数値の平均を取る。
2.一定の時間間隔毎に速さを求めてその数値の平均を取る。

この2方法が考えられます。
質問者が考えた平均は1.の方法で計算した平均であり、通常速さの平均と呼ぶものは2.の方法で計算したものになります。

ではなぜ2.の方法で平均を取るのかというと、1.の方法で計算した平均は実際の速さの比較に使用できないからです。

たとえば、100kmの距離を10km毎の通過時刻を測定します。
2台の車で次のようになったとします。(時間単位は分、スタートからの時間に換算してある。)
km 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1   5 10 15 20 25 30 35 40 45 120
2  10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1台目の車は、最初の90kmを時速120kmで走っていますが、最後の10kmは時速8kmと大幅に減速しています。1.の方法で計算した平均時速は(120*9+8)/10=108.8km/hです。

2台目の車は一定速で走っています。10km毎に10分、時速60kmで刻んでいます。
1.の方法で計算した平均時速は60km/hです。

1.の方法で計算すると1台目の車が2台目の車の1.8倍くらい速い速さで走っているのですが、2台目の方がゴールに要する時間は短くなっています。これでは速さの意味がありません。

この理由を考えると、分数の平均を求める際、分子が同じである数の平均を取るときに分母の平均を求めて、分子をその数で割っていることが原因であることがわかります。もちろんこれは間違いであり、実際には通分してから和を求める必要があります。

速さの平均 なぜ？ とても根本的な質問

何で重みづけして平均を出すかということの違いです。

>[例題] はじめ時速 V1 で T1 時間走行し、ついで時速 V2 で T2 時間走行した。

「平均時速」は、異なる走者の平均を考えるほうが自然なのかも。

ミスタイプ訂正。

「時速の平均」って、気軽に勘定できないような気もします。

例えば、１０ｋｍ／ｈの車と２０ｋｍ／ｈの車の２台（だけ）が走っていたとして、

「平均」するのはいくつかのデータの代表的な値が欲しいからですね。

ちゃんとした回答は他の方のを見ていただければ良いのですが、

この問題については、(20km/h+10km/h)/2=15km/hというのは、いわば物理学の誤答として期待されている典型的なものでしょう。

"平均"という言葉をより厳密に考えないといけません。

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