こんにちは。解説を見てもよくわからないところがありまして、わかるかた教えていただけないでしょうか。
問:グラフが次の条件を満足する2次関数を求めよ
上に凸で、頂点が直線y=x上にあり、 2点(1.1), (2.2) を通る。
解説:
y=a(x-p)^2-p (a<0)とおく。
点(1.1)を通るから、 1=a(1-p)^2+p よって (1-p){a(1-p)-1}=0 …(1)
点(2.2)を通るから、 2=a(2-p)^2+p よって (2-p){a(2-p)-1}=0…(2)
(1)より p=1 のとき(2)に代入して a=1 これは a<0を満たさないから不適
(2)より p=2のとき(1)に代入して a=-1 これはa<0を満たすから適する。
と、ここまでは理解できるのですが、
p=/1 かつ p=/2 (=に斜線がはいっている符号です) のとき、
(1)より a= 1 / 1-p' , (2)より a= 1/2-p
このようなaは存在しない。
以上より、求める2次関数は y=-(x-2)^2 +2
確かに、(1)、(2)の式をすると (1)より a= 1 / 1-p' , (2)より a= 1/2-p となるのは
わかるのですが、なぜ、"このような a は存在しない" ということになるのでしょうか?
どうぞよろしくお願いいたします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
とりあえず、(1)と(2)の連立方程式を解くことが目標です。
(1)
(1-p){(1-p)a - 1} = 0
⇔ 1 - p = 0 または (1 - p)a - 1 = 0
⇔ p = 1 ・・・(1A) または a = 1/(1-p) ・・・(1B)
(1)
(2-p){(2-p)a - 1} = 0
⇔ 2 - p = 0 または (2 - p)a - 1 = 0
⇔ p = 2 ・・・(2A) または a = 1/(2-p) ・・・(2B)
数学において絶対的な権力を持っている「0除算の禁止」から
(1A) かつ (1B)
および
(2A) かつ (2B)
となる条件は無視します。
よって、この連立方程式を満たすためには、
(1A) かつ (2A) ・・・(3A)
(1A) かつ (2B) ・・・(3B)
(1B) かつ (2A) ・・・(3C)
(1B) かつ (2B) ・・・(3D)
を満たすもの、ということになります。
(3A)
p = 1 かつ p = 2
意味不明ですね。即ポイです。
(3B)
p = 1 かつ a = 1/(2-p)
∴a = 1
定義 a < 0 より不適
(3C)
a = 1/(1-p) かつ p = 2
∴a = -1
OK!!
(3D)
a = 1/(1-p) かつ a = 1/(2-p)
これを満たすaの値は存在しないので、×
したがって、題意に沿う解答は、(3C)のa = -1の時、ということになります。
どうでしょう?
こんばんは。
考え方が大変よくわかりました。
しかし、数学ができる方は素晴らしいですね。
高校の頃もっと真面目にやっておけばよかったと思うしだいです。
理解できると楽しいです。
先日に引き続きどうもありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
そもそも
p≠1かつp≠2の時は
a=1/(1-p),a=1/(2-p)
となってしまいaの値が確定しませんので除外していいと思いますが・・
No.1
- 回答日時:
途中からpにアポストロフィがついてますが、打ち損じでしょうか。
これ自体に意義を見出せません。(1)より a= 1 / 1-p , (2)より a= 1/2-p
を同時に満たすaの値、つまり
1/(1-p) = 1/(2-p)
2 - p = 1 - p
を満たすpの値は存在しない
ということですね。
ありがとうございました。
しかし、解説の上のほうで、p=1, P=2をそれぞれ
(1)より a= 1 / 1-p , (2)より a= 1/2-p
に代入していますよね?
それで (1)にp=2を代入すると a=-1, (2)にp=1を代入すると、a=0
となり、問題の条件として a=-1 は a<0なので適するというように解説は進んでいます。
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