連立方程式の利点とは

今連立方程式の範囲を家庭教師で教えているのですが、距離と速さと時間を使った問題ありますよね？（数直線上にスタートとゴールが書かれてて途中から速さが変わったりするやつです）
あの問題を解いてるときに１文字でやろうとしてしまいます。（距離をｘ、ｙと置きｘ＋ｙ＝１４，ｘ／４０＋ｙ／１０＝１のように解いてほしいのですがｘ／４０＋（１４－ｘ）／１０＝１で解いてしまいます。なぜ連立方程式を使うとよいのかという利点を教えたくても無知なためわかりません。
連立方程式にする利点を誰か教えてください。

No.3 回答者： ryoppemag 回答日時： 2004/06/13 20:33

"連立方程式の方が複雑な問題に対応しやすいから"でいいのでは？

例にあります ｘ／４０＋（１４－ｘ）／１０＝１ って問題設定が単純ですよね？なので連立でも1変数でも大差はないです。
これが複雑な問題設定ならば、1変数だとできなかったり、式がぐちゃぐちゃになってわかりずらくなる。連立で解いたほうが1変数よりは楽な式作りになる・・・って感じでどうでしょう？

No.2 回答者： ticky 回答日時： 2004/06/13 09:29

利点は、ないです。

(少なくとも私はそう思う)

連立方程式の問題のうち多くは、連立方程式を使わずに解けますし、必要性は薄いです。
むしろ、一元の方程式で解ければ、そちらの方が速く計算できます。
(一応、一通り連立方程式に十分慣れて、使えるように力が付いていれば、十分だと思います。無理して解かせることもないのでは。)

ただ、連立方程式を知っていれば、より複雑な問題にも、悩まずにすみます。
連立方程式の（方程式に対する）利点なんてこんなもの。

逆に、すべての問題を一元の方程式ですまそうとするのもなかなかに大変です。
ややこしい問題は、連立方程式をたてた方が速く楽だ、ということに気づけば、少なくともそういう問題は、連立方程式で解くのでは、と思います。
(そういう態度でも、連立方程式は使えるようになると思いますから、教育上は十分、と思う。)

むしろ、将来文字を使って、いろいろなことをするのですから、その足固め、訓練の意味合いが強いと思います。

No.1 回答者： pppc88 回答日時： 2004/06/13 02:43

学習や教育の世界はよくわかりませんが生徒さんは中学生でしょうか？

連立方程式をたてるという考え方を覚えることは後々もっとレベルの高い数学で役に立つと思います。
１．微積の足固めのようなモノ…かも
２元連立１次方程式は、２つの式をグラフにすると交点の座標が答えになります。
交点がない場合は「解がない」、２つの式が同じ線になる場合はいわゆる恒等式になってしまいます。（任意の未知数で式が成立、解が無限にある）
「式をグラフにする」考え方は後に微積でイヤというほど出てきますので、今は「式をグラフに出来れば答えを見つけやすい」という程度でいいのかなと思います。
２．線形代数の足固めのようなモノ…かも
ｎ元連立方程式を解くためにはｎ本の式が必要です。
１文字でやろうとするご投稿の内容から、生徒さんは解くためのリクツそのものは理解していると思われますので、このやり方でも時間をかければ３元でも４元でも解けると思います。
極端例として、意地悪ですが５元くらいの連立方程式を実際にこの方法（１文字化して代入する）で解かせてみるといいと思います。解は整数にならない方が望ましいです。たぶん時間がかかって面倒くさがると思います。
左辺＝右辺の場合、「両辺に同じモノを足す／引く」「両辺に同じモノをかける／割る（０以外の実数）」でも等式になるという理屈が分かれば、連立方程式をたてれば行列の世界でいうところのガウスの消去法や掃出の考え方でもうすこし楽に解くことが出来ます。
逆に言えば、連立方程式をたてる考え方は、後の行列式や線形代数の考え方の基礎ともいえそうです。

実例などは何をどこまで生徒さんに説明するというのはバランス面などもあると思うので私も分かりませんが、いずれにせよ、後から待っている「お楽しみ」のために必要なことだと言うこと、そのための土台造りのような練習問題であること、数学は答えを解く学問ではなくむしろ答えを解くための過程を覚える学問であること…という雰囲気が生徒さんに伝わればいいかな…と思います。