物理の理想気体の状態方程式の証明

一辺がlの立法体を用いて証明しなければならないみたいですが
さっぱりわかりません

アボガドロ定数なども使って証明するみたいですが
どうすればいいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： drmuraberg 回答日時： 2011/12/03 00:31

<理想気体の状態方程式の証明>

とのことですが、理想気体のモデルに付いて
１）圧力Pと体積Vの関係を示すボイルの法則PV ＝ 一定、
２）体積Vと温度Tの関係を示すシャルルの法則 V/T = 一定、
の２つを組合せたボイル・シャルルの法則 PV = RTを証明しなさい
という事でしょうか。Ｒ気体定数（=kN、kボルツマン定数、Nアボガドロ数）。
この式は変数P,V,Tで理想気体の状態を記述する方程式、
つまり状態方程式になっています。

１）は気体分子運動論を使って計算できます。
一辺の長さがLの容器に質量m、平均速度v、個数Nの気体粒子が入っている
として高校程度の代数計算で簡単に導出できます。
結果は PV = Nm(v^2)/3 = 一定　(V=L^3)となります。

詳細は下記URLの「理想気体の考察」の項を参照してください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%97%E4%BD%93% …

２）の導出はそう簡単では有りません。
一定温度Ｔにおいては気体分子の速度vはマックスウエル・ボルツマン分布に
従います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF% …

この分布則から気体分子全体のエネルギＥを求めると　
E =3NkT/2 となります。
一方、気体分子の運動エネルギは１個の分子の運動エネルギｘ個数
E= Nmv^2/2ですから、これら２つを等置すると　Nmv^2/2 = 3NkT/2。

これをPVの式に代入すると
PV = NkT =RT　　　　　　　ボイル・シャルルの法則となります。

マックスウエル・ボルツマン分布に温度Tが現れるのは、
熱力学と統計力学から理由付けられます。

原理的にはこの様に証明可能ですが、演習問題としてはかなり高度です。


過去に似たような質問が有りましたので、紹介します。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4046482.html

その中の文
＜もしシャルルの法則を導くのであれば運動エネルギと温度の関係式が
分かっていないとダメということになります。比熱の測定から得られた等配分則を
実験的な裏づけとして利用して出す事になります。＞
はＮｏ．２の回答の考えが近いと思います。

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2011/12/01 14:59

状態方程式は証明の対象ではありません。

状態を記述する量（温度、圧力、体積）の間に成り立つ関係を表しています。
この関係はボイルの法則、シャルルの法則の２つから導かれたものです。
この２つの法則は実験的に求められたものです。
証明したのではありません。

アボガドロの法則は状態方程式に出てくる定数の決定に使われています。
従ってこの定数はアボガドロの法則の成り立つ範囲でしか使うことのできないものです。
しかし、アボガドロの法則の成り立つ範囲、ボイルの法則、シャルルの法則の成り立つ範囲がほとんどオーバーラップしていますので合わせて「理想気体」という枠組みで考えています。
圧力が低くて、温度が高ければたいていの気体は「理想気体」として扱ってかまいません。
「温度が高い」というのは「気体が気体でなくなる温度に比べて高い」という意味だと理解しておけばいいでしょう。気体について成り立つ法則ですから気体が気体でなくなる温度に近づいてくれば当てはまり方が悪くなるだろうというのは素直に理解できるのではないでしょうか。
常温で気体の物質は温度を下げて行くと理想気体の状態方程式への当てはまり方が悪くなっていきます。

No.1 回答者： gtmrk 回答日時： 2011/12/01 05:36

おはようございます。

これは高校物理ですか？

具体的にどんな問題で、質問者様がどこまでどのように考えたか、
ということを明記して頂けると回答しやすかったかなと思います。
（追記して頂ければ対応できるかも知れません。）

まあ、『一辺が L の～』と言ってきているあたり、
気体分子運動論的な解釈をさせたい臭いがしますけれども…

不明点が多いので、とりあえず普通の導出を載せておきますね。

--------
基本的に理想気体の状態方程式は
ご存じボイルの法則とシャルルの法則から出発します。

　(1)　　P = k1 / V,　　V = k2 * T

k1, k2 は任意の定数です。
圧力は体積に反比例し、体積は温度に反比例するわけです。
ということは、これらを結ぶつけて

　(2)　　P = k3 * T / V

と書くこともできそうです。
これは一般に『ボイル＝シャルルの法則』と呼ばれている形ですね。

さて、ここで『アボガドロの法則』を使います。
これはザックリ言えば、【1 [mol] の気体の体積は、0 [℃], 1 [atm] で 22.4 [リットル/mol]】
というものです。これらの数字を(2)式に代入してみます。
気体の mol 数は n としましょう。つまり体積は n * 22.4 [リットル/mol] です。

　(3)　　1.013×10^5 [Pa] = ( k3 * 273 [K] ) / ( n * 2.24×10^-2 [m3/mol] )
　　　　　　⇔　k3 = n * 8.31 [Pa・m3 / mol・K] = n * 8.31 [J / mol・K]

適当に置いた定数 k3 がしっかり決まりました。
ここで出てきた R = 8.31 [J / mol・K] を、『気体定数』と呼びます。
というわけで、k3 = nR を(2)式に代入すれば

　(4)　　P = nR * T / V　　⇔　　PV = nRT

となり、理想気体の状態方程式が導出できます。