確率の問題

Question

赤のカードが６枚、白のカードが４枚あり、これらの１０枚を任意に一列に並べる。このとき同色のカードの一続き（一枚のこともある）を「かたまり」とよぶことにする。（例えば、赤　赤　赤　白　白　赤　白　白　赤　赤　→赤赤赤、白白、赤、白白、赤赤、がかたまり）
「かたまり」が４個である確率を求めなさい。


この問題を私は赤のカード白のカードをそれぞれ区別していました。つまり、赤のカードは赤１、赤２、・・・、赤６があると考えていました。
しかし、解答は区別しない（たぶん）考えでした。なぜ区別しないのか、わかりません。
ちなみに解答は、
赤６枚白４枚の並べ方が、１０Ｃ６＝２１０（通り）
かたまりは、（１）赤白赤白または（２）白赤白赤の二通りで、それぞれ５×３（通り）
よって、（２・５・３）/２１０＝１/７

です。確かに、それぞれを区別しなければ、この解答になるのはわかります。区別しない、という発想がわかりませんでした。
教えてください。よろしくお願いいたします。

tom_onigiri · Accepted Answer

質問の答えですが『組み合わせを用いて区別しないほうが、計算が単純だから』こうとしか言い様がないです。
正直言って、区別してもしなくても答えは同じです。もし区別しないで考える方法が納得いかないならば、区別して考えていいと思います。テストで答えと考え方が間違ってないなら“○”ですから。
しかし、「そうなる場合の数」と「全体の数」（つまり確率の分子と分母）がお互い区別する、もしくは区別しないようにする必要があります。

「区別しない」という発想ですが、例えば「１」のカードが３枚あって、これを並べて出来る３桁の数はというと「１１１」しかないですよね？３枚のカードをどの順番で並べようが、結局「１１１」にしかなりません。
問題の赤・白のカードにしても同様で、例えば赤のカードのみに着目するとどう並べても
左から「赤赤赤赤赤赤」としかなりません。仮に１番目の赤と３番目の赤を変えたところでも結局「赤赤赤赤赤赤」です。これらを１つとして考えるわけです。

区別する場合の考え方ですが、結局は区別しない場合の考え方にプラスして、カードの順番も考慮したという形になります。

例えば#6さんの例でいくと、
(1)区別しない場合
a:赤赤白　b:赤白赤　c:白赤赤の３通り。
(2)区別する場合、２つの赤は別物なのでこれらを１，２とすると「１，２」「２，１」と２通り出来るので、
(1)のａ，ｂ，ｃについてそれぞれ２通り存在することになり、３×２＝６通りとなります。
この例で言えば、「×２」が区別する場合としない場合の差となります。
でもこの「×２」は「起こる場合の数」にも「全体の数」にもかかるので、結局答えは同じになるわけですね。

すごく長くなったけど、こんな感じでいいかな？

noname#6587 · Answer

面白そうな問いなので、私も考えてみました。
「区別しない、という発想」
－－＞私の「感」では、もしかしたら下記の理由ではないかと思います。
　「区別してもしなくても、出る結果（確率）が同じだから。」　「そして、問題の回答はその片方を採用して計算した。」

　上記は全くの「感」なので、ご自身で検討してみてください。

　私が上記のように「感」じた理由　：
白１個、赤二個の場合で２塊になる確率を計算する。
１．区別する組み合わせでは６通りの並べ方がある。
　　ＷＲ１Ｒ２　　２塊
　　ＷＲ２Ｒ１　　２塊
　　Ｒ１ＷＲ２　　３塊
　　Ｒ１Ｒ２Ｗ　　２塊
　　Ｒ２ＷＲ１　　３塊
　　Ｒ２Ｒ１Ｗ　　２塊
　－－－－－－－－　　確率　４／６＝２／３
２．区別しないとしたら、
　　ＷＲＲ　　　　２塊
　　ＲＷＲ　　　　３塊
　　ＲＲＷ　　　　２塊
　－－－－－－－－　　確率　２／３

　（でも、間違いでしょう、多分、、、）

kony0 · Answer

#4さんが最後に言われている「さいころ」については、「１，１」が出る割合と「１，２」が出る割合は明らかに異なる（後者が２倍）・・・ということで、「区別しない＝組み合わせ的考え方」は使えないわけです。

教科書にはちゃんと出てくるものの、問題を解くときの解答にはほとんど出てこない言葉「同様に確からしい」という概念が考え方の決め手になるのです。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=705818

noname#24477 · Answer

#3の方が言っているようにどちらでもいいと思います。

今、区別しないときと区別するときをくらべてみると
区別するときのほうが
6!*4!倍になります。これは「分母も分子も両方共なる」
ということに気を付けてください。


だからこの確率を計算するときは、

分母分子を同じ考え方で求めれば

区別してもしなくてもどちらでもよい、ということになります。


ただ「さいころの目の和の合計」などというときは
さいころを区別しないと正しい確率は求まりません。
ややこしいですね。

kony0 · Answer

理論的には「区別しても区別しなくてもよい」が正解でしょう。

区別しないとき方に挑戦してみると・・・

1.すべての場合の数は10!

2.6つある赤を、２つの「赤」のカタマリに分けて１列に並べる方法は、6!×5
（まず、６つある赤１～赤６を１列に並べる順列を考えて、そのあいだに仕切りを入れて、左の「赤のカタマリ」と右の「赤のカタマリ」に入れるものにわけた。この場合、1|23456と、23456|1は異なるものと認識します。）
同様に、白を２つのカタマリに分けて１列に並べる方法は、4!×3
これらは「赤白赤白」と「白赤白赤」の場合それぞれに対して考えられる。

ということで、求める確率は、
{(6!×5)×(4!×3)×2}/10!
で、同じ答えが出てきます。

区別しない「組み合わせ的考え方」でも、全210通りの事象の発生は「同様に確からしい」ため、組み合わせ的考え方でも一向に構わないわけですが、決して「組み合わせ的考え方でないと解けない」わけではありません・・・

なんていうと、かえって混乱させてしまうのかしら？（汗）

cubics · Answer

区別しなくていいんです。
きっと論理的には解答で理解しても、感情的に納得できないのだと思います。

全部で１０個（色ごちゃまぜ）の組み合わせと、
赤６個の組み合わせと、白４個の組み合わせ、
そして、それらが、交互に並んだ場合の組み合わせで
何となく、それぞれで「組み合わせの場合」が違うの
ではないかと思ったのでしょう。

でも、どんなに小さい数でも大きい数でも、
組み合わせの問題に単純化したときは、区別しなくていいんです。そういう法則になっているからです。
だから、組み合わせが計算できるわけです。
確かに赤６個白４個の場合と、赤６個白４個に
黒５個が増えたりした日には、赤の組み合わせも
違ってくるんじゃないかという「気には」
なりますよね。でも赤６個は、いつも赤６個として、
区別しないのでいいのです。

fushigichan · Answer

ayakakayaさん、こんにちは。

＞私は赤のカード白のカードをそれぞれ区別していました。つまり、赤のカードは赤１、赤２、・・・、赤６があると考えていました。 
しかし、解答は区別しない（たぶん）考えでした。なぜ区別しないのか、わかりません。 

なるほど。カードを色別に番号つけて、赤１赤２・・と区別して考えたんですね。
その結果、答えと違ってしまった・・・ということですね。

＞確かに、それぞれを区別しなければ、この解答になるのはわかります。区別しない、という発想がわかりませんでした。

それはですね。確率でなく、組み合わせだからですね。
もっと小さな数字で考えてみましょう。

今、ここに白球１個、黒球２個あります。
これを、３個順番に並べる並べ方は、何通りありますか？

○●●
●○●
●●○

この３とおりだけですよね？
3C1=3
ですから、３とおりだけになります。
黒球には区別はつけないですよね？

白黒１黒２　であっても、白黒２黒１
であっても、
○●●
のように並んでいることには変わりはないですよね？

実際、ハンバーガーが１個とチーズバーガーが２個あったとして、
それを並べなさい、というときに
ハンバーガー、チーズバーガー、チーズバーガー
のように並ぶのはそれだけで
ハンバーガー、チーズバーガー１、チーズバーガー２
ハンバーガー、チーズバーガー２、チーズバーガー１
であるから、ハンバーガーが先頭にくるのは２とおりだ、ということはないですよね。

それと一緒で、「同じ種類のものを並べるときの並べ方」
は区別しないということです。この説明で参考になればいいのですが。

確率の問題

質問の答えですが『組み合わせを用いて区別しないほうが、計算が単純だから』こうとしか言い様がないです。

面白そうな問いなので、私も考えてみました。

#4さんが最後に言われている「さいころ」については、「１，１」が出る割合と「１，２」が出る割合は明らかに異なる（後者が２倍）・・・ということで、「区別しない＝組み合わせ的考え方」は使えないわけです。

#3の方が言っているようにどちらでもいいと思います。

理論的には「区別しても区別しなくてもよい」が正解でしょう。

区別しなくていいんです。

ayakakayaさん、こんにちは。

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