円順列

男子4人と女子3人がいる、
(1)女子どうしが隣り合わないような並び方は？
(2)すべての男子と女子が隣り合う並び方は？
という問題で、わかるんですけど(多分)、絶対的な自信がありません、絶対間違えないような考え方を教えてください。よろしくお願いします。(どうとっつくか)

No.3 ベストアンサー 回答者： hidecho 回答日時： 2005/04/06 09:43

円順列・・・

1>　誰か1人を固定してから残りの(n－1)人を順に並べグルッと丸める
→(n-1)！
1>’全員を一列に並べる→ｎ！
　　 円にすると同じものになるものｎコで割る。÷ｎ
→n!÷n　
考え方は、どちらでも良いすが、上記1>の方でおはなしします。

2>　ほかの条件は直線に並べる順列と同じ要領で考える
の順番で考えるとよいと思います。

■ときかた■
「男子4人と女子3人がいる」
☆男子・女子…ときたら、分けて考えることにしましょう♪

(1)　女子どうしが隣り合わないような並び方は？

1> 円順列：誰か1人（たとえばＤ君)を固定してから残りの３人を並べます→(4-1)！
2> 男子４人ぐるっと円に並びました。最初に固定したＤ君の後ろからそれぞれの間に椅子を1個ずつ差し込んでおきます。（椅子の数は全部で４つになりますね）
差し込んだ椅子4コに女子3人を並べます。→4Ｐ3

よって、
⇒(4-1)!×4Ｐ3

★「隣り合わない」問題では
先に並べるのは人数の多い男子から。また、間に椅子を差し込むとき端っこにも置いておくことを忘れずに…


(2)　すべての男子と女子が隣り合う並び方は？
？問題の意味…？
「男子が隣り合わせ」「女子も隣り合わせ」
という意味ではないでしょうか？
1人ずつ隣り合うと考えると、(1)と同様な結果になるかと思うので？
この解釈でお答えします。

1> 男子全員がすわる長椅子と女子全員がすわる長椅子を準備します。この椅子の円順列→(2-1)!
2> 男子の椅子について：男子4人がすわるので→4！
　 女子の椅子について：女子3人がすわるので→3！

よって
⇒(2-1)!×4!×3!

★「隣り合う」問題では
隣り合うものをひとかたまり１コにして考えます。このかたまりの数を加えてあげることを忘れないで！！上記解答のように大きい椅子が１つ準備されたと考えてください。

No.2 回答者： ymmasayan 回答日時： 2005/04/05 21:12

No.1さんの解き方綺麗ですね。

私は２！×３×４！の方が分りやすいですが。
３というのは男子４人の座る位置が２１１，１２１，１１２の３通りと言う事ですね。
ちなみに、先に男子１人を固定すると３！×4Ｃ3×３！＝６×４×６＝１４４です。

次の問題ですが、「どの男子も全ての女子と最低１回は隣になる」でいいんですよね。
あっけないですけど、たったの２通り。
うまい式が立ちませんが。
男子４人を１人置きに並べます。
女子は４つの空き地の内の向い合わせの２つに座れば男子全員と隣り合わせになります。
空き地にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名前を付けると、女子３人が
Ａ→Ｃ
Ｂ→Ｄ
Ｃ→Ａ
と言う風に移動すれば２通りで済みます。
これでは答えになっていませんよね。

No.1 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/05 17:49

円順列の問題の解き方は、

（１）他と区別できるどこか一点（一人）を固定して、円順列の問題を直線状の順列の問題に置き換えることを考えます。

（２）円順列に与えられた制約を、直線状の順列における制約に置き換えます。

（３）普通の順列の問題として解きます。

１の問題ではまず、女子が隣り合わないとなっているので、女子ABC,男子DEFGとしたときに、女子Aを先頭に固定します。

円順列における「女子同士が隣り合わない」という制約は、Aを先頭にした順列においては、「Aと二人目の女子の間、二人目と三人目の間、三人目の後ろに少なくとも一人男子がいる」に置き換えられます。

女子の並び方は２！通り、男子の並び方は４！通り、男子と女子の並びの組み合わせ方を制約を満たすように考えると３通りとなるので、
答えは２！×４！×３＝１４４通りになるかと思います。