楕円の変数変換

楕円E：(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2012/01/04 01:52

つまり、

(x/a)^2+(y/b)^2
という式に
x=ar*cosθ
と
y=br*sinθ
を代入したらどうなるか、というご質問ですね。

自分でやりなされ。

この回答への補足

すみません、そういうことではありません。
楕円 E を極座標表示したときの r,θ の範囲は、それぞれどのようになりますか？という質問です。

補足日時：2012/01/05 11:18

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/04 03:04

>表示 E' はどのようになるのでしょうか？

Ｅ’は、ｒ^2≦１になると思います。

この回答への補足

確かに、x=ar×cosθ,y=br×sinθ を代入すればそうなりますが、そういうことではありません。
楕円 E を極座標表示したときの r,θ の範囲は、それぞれどのようになりますか？という質問です。

補足日時：2012/01/05 11:20

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/04 07:52

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}

E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ＜π}
　または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ＜2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
　=4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
　=2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
理解できました。

お礼日時：2012/01/05 11:08