No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
不定積分ではなく定積分でお答えします。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)
以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x
と変数変換すると
I=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx
I=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx
となります。これらは、右辺の広義積分が収束して
値がIに等しいことを意味します。一方、
2I=∫_{x=0~π}log (sinx) dx
であり、x=2tとおくと
I=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt
=∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt
=∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt
=π/2*log 2+2I
∴ I=ーπ/2*log 2
となります。ご参考までに。
ありがとうございます。
本来の問題のとおりの範囲でした(0~π/2)。
部分か置換かのやり方がわかればできると思って不定積分で質問を出してしまいました。
丁寧な解説をありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学3の、定積分に関する質問です。 ∫上端e^2下端1{dx}/{x}という問題で、[log|x|] 1 2022/06/16 12:00
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 数学 微分方程式の積分定数について 5 2023/07/13 08:39
- 数学 1/(4cos^2x+sin^2)で、 tan(x/2)=tとおいたとき、 sinx=2t/(1+t 2 2022/07/04 13:58
- 数学 d/dt∫[t、0]log(1+t)dx これはxで積分したあと何をすればいいのでしょうか? 2 2023/07/16 17:16
- 数学 ∫[-π,π]1/(2+cosx) dxの積分はできて、 ∫[0,2π]1/(2+cosx) dxの 3 2023/02/06 12:08
- 数学 ∫dx/(5x+7)=log|5x+7| [log|5x+7|]⁵-₁ 上が5下が-1 答え4/5l 1 2022/07/23 18:13
- 数学 微分積分についての問題がわからない です。 3 2022/08/08 15:13
- 物理学 ポテンシャルが有限で不連続の時、右側の波動関数をφ1(x)、左側をφ2(x)とする。境界条件の「波動 2 2023/06/04 13:53
- 数学 区間[0,1]で連続な関数f(x)について、 ∮[0→π]xf(sinx)dx=π∮[0→π/2]f 2 2023/01/19 14:13
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
性格の違いは生まれた順番で決まる?長男長女・中間子・末っ子・一人っ子の性格の傾向
同じ環境で生まれ育っても、生まれ順で性格は違うものなのだろうか。家庭教育研究家の田宮由美さんに教えてもらった。
-
log(cosθ)の積分
数学
-
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
大学数学の積分の問題 ∫[0→π/4]log(tanx+1)dx
数学
-
-
4
e^-2xの積分
数学
-
5
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
6
e^(-x)*|sinx| これを積分するにはどーすればよいですか? 途中式と答えを教えてください
数学
-
7
平面の交線の方程式
数学
-
8
ガスビュレットの原理について
化学
-
9
偏微分の記号∂の読み方について教えてください。
数学
-
10
∫a^2 / ( x^2 + a^2 ) ^(3/2)dx の計算
数学
-
11
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
数学
-
12
楕円の変数変換
数学
-
13
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
14
不定積分の計算
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
続・対数積分について
-
自然対数をとる?とは・・・
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
e^x=2のときのxの求め方
-
log2の5は?
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
256は2の何乗かを求める式
-
微分・積分
-
y=x^x^xを微分すると何になりま...
-
∫1/x√(x^2+1) の積分について。
-
関数電卓の使い方
-
log3^1はなんで0になるんですか?
-
lnをlogに変換するには・・
-
なぜxがe^logxと変形できるので...
-
logとln
-
2を何乗すると6になりますか? ...
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
極限値lim(h->0)((a^h-1)/h)は
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
e^x=2のときのxの求め方
-
自然対数をとる?とは・・・
-
256は2の何乗かを求める式
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
log2の5は?
-
透過率から吸光度を計算する際...
-
関数電卓の使い方
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
lnをlogに変換するには・・
-
eの指数の計算がわかりません。
-
2を何乗すると6になりますか? ...
-
関数電卓のlogについて
-
ln5はいくつ?
-
微分方程式dy/dx=1-y^2を解け。...
-
数学の関数についての質問です...
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
超初歩的質問ですが・・
-
log3^1はなんで0になるんですか?
おすすめ情報