ベクトルはなぜ平行四辺形の辺に分解されるのか

Question

ベクトルは何故
四角形や平行四辺形の辺に分解されるのでしょうか
平行でない四辺形の辺に分解されてもいいのでは
いいのではないでしょうか
どなたかわかりやすく説明していただけないでしょうか

ddtddtddt · Accepted Answer

質問者様が混乱されるといけないので、一回だけにします。

#6さんへ。あなたの回答の意図が、いま一つわかりません。速度の（ベクトル一般の）平行四辺形則も、経験事実だと仰りたいのでしょうか？。自分はそうでない、とは言いませんよ。#7で述べられたような事が、ベクトル技術の開発という行為に対して、非常に大きな動機付けになった事は、間違いないからです。

ただベクトルの定義（合成則含む）には、人間の恣意性がかなり大きく入っていると思います。また、ベクトルの成分分解と、合成則は数学的に同等です。ベクトルの成分分解は、本質的に座標系と無関係に行えます。

さらに言うと、ベクトルは数の組みではありません。それが線形代数の基本発想です。線形代数は、ベクトルを座標系（数の組み）フリーで扱おう、という問題意識の所産でもあるからです。

例えば、変位ベクトルの成分分解を考えます。それは、あなたの仰るように、基本方向を決めて、その方向に平行な軸に運動軌道を射影すれば良いだけです。この段階で軸は、座標軸でも何でもありません。軸に目盛はふられてないですし、軸が常に同じ位置にいる必要すらありません、軸の方向のみが意味を持ちます。

そしてもう一つ、条件があります。射影するための光は、合成則（平行四辺形則）が成り立つように当てる、が条件です。光は軸（それは座標軸でない）の方向に平行に当てます。

・これは人間の恣意性ではないでしょうか？。光を当てる方向は無数にあるのに・・・。

何を言いたいかというと、ベクトルは合成則が「成り立つように定義されたのだ」、という事です。速度についても同様な事情が成り立ちます。なのでそれは人間の勝手だろう、と思う次第です。もちろんそれが、現実と余りにかけ離れていれば、ベクトルがここまで普及する事は、なかっただろうとは思います。

加速度ベクトルについても、同じ事情です。ただし運動方程式があるので、人間の勝手で力を分解したとしても、力の水平分力が、運動量の水平成分（速度の水平成分×質量）の時間微分と同じなのか？、という問題が生じます。鉛直成分についても同じです。つまり、運動や力の分解成分は、互いに影響し合わないのか？（相互作用しないのか？）という話です。

これこそ物理の問題と思えます。質問者様の意図は、こちらあったような気がします。そしてそういう違和感は、正当なものかも知れない、というのが#6の意図です。

あなたの意図は、どのへんなのでしょうか？

ojisan7 · Answer

ご質問は、「力の平行四辺形の法則」はなぜ成り立つのか、ということでしょうか？
このご質問は、力の性質について、本質的であり、非常に重要なご質問だと思います。
中学・高校・大学ではこのことについて、力はベクトル量だとして天下りに、しかも、当たり前のこととして教えています。でも、この法則は決して当たり前な法則ではありません。
「力の平行四辺形の法則」はシモン・ステヴィンによって発見されました。彼の１５８６年に発行された著書に力の平行四辺形について述べられています。力の平行四辺形の性質は決して自明な性質ではありません。また、他の力学的な法則から導かれる法則でもないのです。「力の平行四辺形の法則」は「原理」です。シモン・ステヴィンの発見は大発見であり、彼以後の、ガリレイ、ニュートンへと続く力学の発展の先駆的な偉業でもあります。

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin

htms42 · Answer

＃５です。
＃６に速度について書かれています。

＞前回、速度ベクトルが平行四辺形則で成分分解できるのは経験事実だと書きましたが、速度ベクトル「だけ」に注目するなら、全然そんな事はありません。そんなの人間の勝手です。それは速度という現象の数学的表現の問題であり、ベクトルよりもスカラー成分で計算した方が遥かに単純なので、成分分解した方が遥かにお得です（簡単だから）。

＃５に書きましたが成分分解ができるというのは合成の規則が確認されることによって初めて言えることです。平行四辺形則というのは合成の規則です。分解はそれを逆に使っています。「成分」での表示というのは座標系の設定という表現の問題が新たに入ってきています。座標系の設定が人間の都合によるものなのです。そういう表現で考える方がやさしい場合があるということとは別の話です。
力も速度も合成可能な量であるというのは確かめないといけないことです。
力の合成（合力を求めること）については＃５に書きました。
速度の合成も確かめないとピンときません。

速度の合成というのは運動の合成のことです。
「合成」という言葉に直感的に結びついているのは２つの運動が重なっているという場面です。運動している１つの物体の上で別の物体が運動している場合です。動いている電車の中で歩くという場合を考えると分かりやすいでしょう。普通、進行方向に沿って前向きか、後ろ向きかの２つの運動しか考えていないことが多いですが横に歩いても斜めに歩いてもかまいません。流れのある川を横切るという場面もよく問題には出てきます。２次元になると急に難しくなります。数学的な形式に従えば解くことはできるでしょうが何かしっくりいかないままに答えだけが出たという結果になるのです。運動が合成されるという部分での押さえ、現象的な理解の方が追いつかないからです。平行四辺形で表されるような合成の規則に従うというのはかなり繰り返して練習しないとのみ込むことができません。数学的な表現の理解と物理的な現象の理解と２つのハードルがあります。

２つの速度ベクトルＶ１，Ｖ２が合成された速度ベクトルをＶ３とします。合成の意味で(＋)と書くことにします。
Ｖ３＝Ｖ１(＋)Ｖ２　
Ｖ２の代わりに－Ｖ２を使う事もできます。Ｖ４＝Ｖ１(+)(－Ｖ２)
「電車の中である方向に歩いてみた、次はそれとは逆方向に同じ速さで歩いてみた」という場面です。
Ｖ３，Ｖ４は地面に対する位置の変化で考えていることがわかります。電車の速度も地面に対するものです。人の歩く速度は少しややこしいです。地面に対する運動を電車に対する運動に移し替える操作が必要になります。

２つの運動の差を取るというのを(－)と書くことにします。
これはｖ１，ｖ２で表される２つの別々の運動があって、その運動の結果の違いの生じ方を見ているという場面です。具体的には運動している片方からもう一つの運動を見ている場合に対応します。相対運動です。
ｖ３＝ｖ１(－)ｖ２
２つの運動は対等ですから結果はどちらの立場で見るかによって変わってきます。式の後ろに書かれている運動をしている方（２の方）の立場で見ているとします。動いている電車の運動を電車の外で運動している人が見た場合に対応します。電車の位置の変化を人の位置に対して考えています。動いている電車の中で人が運動している場合の人の位置の変化を地面に対して考えている場合とは事情がかなり異なります。

ａ(＋)(－ｂ）とａ(－)ｂが同じになるということは確かめるべき内容です。数字を入れて刻々の位置を求めて確かめればいいです。でもたいていはいきなり、同じになるという事を認めて２つを区別せずに
ｃ＝ａ＋(-ｂ)＝ａ－ｂ
としてしまうのです。これが言えなければベクトル空間にはなりません。ベクトルだから当然なりたつとしているような感じがします。事情が違うと言っていた運動を同じものだとしてしまうような見方の変更が行われていることになります。力学の勉強ではこれもハードルの一つになります。運動という具体的な現象が背景にある速度をベクトルとして扱うというのはかなりの抽象化が行われた結果です。具体的な現象に付随しているいろんな性格の違いを切り捨てています。しかし、こういうことはたいていは考えてはいません。現象の意味を考えるのではなくて数学的な表現の方を優先させてしまっています。

二次元の相対運動の場合でも数式優先という場面が出てきます。
「東向きに動いている車から北向きに動いている車を見た時どのように見えるか」
という問いだとします。（これは普通に高校の物理で問題として出てくる場面です。）
たいていは見える方向が一定の場合について、位置の変化を出して、距離の変化を求めて、相対速度にしています。教科書に載っている図は全てこの場合です。見える方向の変わる場合が例になっている説明は見たことがありません。この２つはかなり印象が異なります。東向きに走っている車の前を別の車が北向きに横切って行ったというような場合であれば、初め右に見えていた車が左に見えるように変わるのです。見える方向が大きく変わります。相対速度で考えた速度の方向は一定であるというのが納得できなくなるのです。どちらもが同じ表現になるというのを理解するのにはかなり大きなハードルを越える必要があります。でも見える方向が変わるというのが一般的な場面です。見える方向が一定であるというのは道路の交差点から同時にスタートするというような特別な場合です。たいていはこういう場面の違いを問題にしないで、刻々の位置の変化も追いかけずに、式の操作だけで一般的な表現ができたとして終わっています。図の中にいきなり速度ベクトルの矢印を書き込むという説明はこれを表しています。こういう説明である限り、見える方向が変わるという運動が相対速度で表すと同じ向きになるのはどうしてだろうという疑問が出てくる余地はありません。図から離れてそういう疑問を持つ生徒は置き去りになってしまいます。

＃５で書いたことと重なりますがもう一度書きます。
ある量がベクトルであるということが言えるのは
大きさと向きを持っているというだけではだめです。
演算の規則も含めてのベクトルです。
図形としての矢印と、矢印がベクトルを表しているということは別のことなのです。
演算の規則の確認にはかなりの抽象化が必要になってくる場合があります。

成分の方が先だとする考え方は「数字の組をベクトルとする」という数学での立場のものです。
行列・行列式で出てくるものです。その場合、身長と体重をセットにしてベクトルと考えるというようなことも出てくるでしょう。物理で出てくるベクトルでは成分は後です。基準の方向を決めるという操作がない限り成分は出てきません。合成と分解の規則の確認がない限り成分で表すこともできません。
元々の質問がおかしいのは合成の規則が示されていないというところにあります。
２つの任意の方向に分解するというのは可能でしょう。そのようにして得られた成分ベクトルが意味を持つのは合成するともとのベクトルに戻るという場合です。成分ベクトルともとのベクトルとの関係が平行四辺形になっていない場合はどういう合成の規則を満たすとしているのでしょうか。その合成の規則が力の場合に当てはまるのかも問題になります。

ddtddtddt · Answer

#3です。#5さんで十分でないのかな？とは思いましたが、あなたの持たれた違和感は、正当なものであると、一言コメントしたくなりました。

＞平行四辺形に分解される理由の説明は経験事実であって、＃2で回答して頂いた方の説明は当てはまらないということで、
＞よろしいでしょうか

上記でないとは絶対に言えないのですが（個人的意見では）、そう言いきる事に躊躇する気持ちが、自分の中にはあります。というのは、前回は論旨を明確にするために、数学寄りの話を書きましたが、ベクトルの平行四辺形分解には、物理も無視できない動機付けを与えているからです。

前回、速度ベクトルが平行四辺形則で成分分解できるのは経験事実だと書きましたが、速度ベクトル「だけ」に注目するなら、全然そんな事はありません。そんなの人間の勝手です。それは速度という現象の数学的表現の問題であり、ベクトルよりもスカラー成分で計算した方が遥かに単純なので、成分分解した方が遥かにお得です（簡単だから）。

ただし物理は、これだけでは許してはくれません。何故なら速度の時間微分に質量（スカラー）をかければ、運動方程式から力になるはずだからです。よって速度の分解成分の時間微分に質量をかけたものが、力の分解成分になると、「数学的には」結論できます。つまり力も平行四辺形則による分解が可能だと・・・。しかしこれは、検証する必要があります。

以上のように「仮定して」計算を進めると、例えば放物運動に対して放物線軌道が得られ、それは現実と一致します。これが経験事実です。

このように物理においては、数学的演繹によって処理できる部分と、経験事実による検証が必要な部分とが常に交錯し、結果として両者を融通無碍に往復する必要に迫られます。そんな事は「わかってらぁ～！」と言われそうですが・・・。

言われそうですが、この事態は、経験事実をまっとうに表現する数学を如何に選ぶか？、または作るか？、という話に発展します。そういう意味では、速度を平行四辺形則で分解するのは、お得どころか、「物理的にまっとうな態度」になります。この意味で速度に平行四辺形則を認めるのは、「経験事実」です。そして速度が、変位の時間微分で与えられる事を考えれば、「変位に平行四辺形則を認める事も」、経験事実になります。

・物理的事実（力学）は、ベクトルの平行四辺形分解則に、途轍もなく大きな動機付けを与えた．

のは事実です。

ちょっと話題を変えます。今のようにベクトルが、いちおう物理（経験的現実）と無関係に教えられるようになったのは、たった50年くらい前からです。たったというのは、数学には文献に残っているだけでも、25世紀（2500年）以上の歴史があるからです。その歴史の中で数学が、経験事実と無関係に研究されたり、教えられた事は、恐らく一度もありません。

前世紀の中頃に、経験事実と無関係に数学をやっても良いのではないか？、という考えが生まれ、抽象数学が整備されます。数学もここまで豊かに発展したのだから、とりあえず現実を考慮しなくても、数学内部だけで食っていけるのではないか？という態度です。この態度も、絶対に否定できるものではありません。そして抽象数学の整備は、途轍もない現実的効果をもたらします。

抽象数学の整備結果は、次第に初等教育の教育現場へと降ろされます。その結果、かつて無いほどの数学教育の充実を生みます。私やあなたは、その最中に生まれます。私やあなたのように、ベクトルの意味なんかわかんなくたって、ベクトル計算できる人達を量産したのです。我々は、そういう意味では幸運でした。異論はあるでしょうが、これはすごい事だと思います。

ただしその結果、「ベクトルはなぜ平行四辺形の辺に分解されるのか」というような事は、逆に意識されなくなります（あなたは意識した訳です）。意識しなくたって、現実問題として支障はないから、余り重視されません（計算できるから）。

ベクトルを抽象数学の一分野だと位置付けると、数学の論理としては最も綺麗に見渡せます。それをやったのは、19世紀のグラスマンです。そしてグラスマン以前に、ベクトルという概念はありませんでした。そして19世紀とかそれ以前の数学というのは、じつは自然科学的応用が主だったんです。だから19世紀のベクトルの達人達は、今よりものすごく人口が少なかったのかも知れませんが、その人達は常に物理を（現実を）意識せざる得なかったので、力の平行四辺形分解など「自明の理だ！」、と思ってたかも知れませんよね？。

・・・すいません。一言では済みませんでした。

htms42 · Answer

力をイメージしているということですからそれを踏まえて書きます。

「力はベクトルである」という判断はどこから出てきたものでしょうか。
「力は～という性質を持っている」⇔「ベクトルとは・・・という性質を持っている」
この部分についての説明がないので議論が宙に浮いてしまっています。

「力の働きは力の大きさとその力の働いている方向によって決まる」という認識を出発点にしているのであれば「ベクトルは大きさと向きの２つで表される量である」という事になります。
でもこれだけでは成分への分解は出てきません。合成の規則が示されていないからです。
２つの力を同時に加えた時の働きと同じ働きをする一つの力を得る方法です。
これは普通は釣り合いを実現することで確かめます。

（０）釣り合っているとは「力が働いているにもかかわらず力の働きが打ち消しになってしまっていて力が働いていない状態と同じになっている」ことです。「力の働いていない状態と釣り合いの実現している状態とは同等である」という認識です。これは数学で言うと「０」の確認です。

（１）２つの力が正反対に働いていて大きさが等しければ釣り合いが実現します。これは数学で言うと逆元の存在することを示しています。

（２）「０」が存在して「逆元」が存在します。次は結合の規則です。
　　　ある一点に２つの力Ｆ１，Ｆ２が同時に働いているとします。その２つの力の働きと同じ働きをする一つの力Ｆ３はどういうものであるかという問いです。これは２つの力Ｆ１，Ｆ２，とは別にもう一つの力Ｆ４を考えて釣り合わせたと考えると出てきます。Ｆ１，Ｆ２を合わせたものとＦ４が釣り合っているのですからＦ２とＦ３を合わせたものに等しい力Ｆ３はＦ４と大きさが等しくて向きが逆になっているはずです。
Ｆ２，Ｆ３とＦ３がどういう関係になっているかは実験で確かめる内容です。力は向きと大きさを持っているという事でしたから矢印で書くことができます。Ｆ１，Ｆ２，Ｆ４は測定で決まります。Ｆ３はＦ４と大きさが等しくて向きが逆の矢印です。Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３の関係は分かります。これで結合の規則を導くことができます。
Ｆ３がＦ１，Ｆ２の作る平行四辺形の対角線になっているということがもし確かめられれば力は位置などと同じようなベクトルになっていることが確かめられたことになります。図形に書くことができるといううのは力が位置という量と同じ性質を持っているということです。

２つのベクトルの作る平行四辺形の対角線を求めるということと２つのベクトルの矢印を継ぎ足して新しい矢印を求めるということは同じことです。（これが＃２の内容です。）
どちらを使うにしろ、力がそういう合成の規則を満たしているというのは実験的に確かめるべき内容です。
（これが確かめられていなければベクトルという言葉を使うことができません。）

（３）合成が上のような方法で出来るということであれば何か基準の方向を２つ決めておいてその上のベクトルの和で全てのベクトルを表すことができます。それが成分への分解です。です。成分による表現は合成の規則が示されていないと出来ない事です。平行四辺形の対角線から隣り合う２辺を求める作業になります。
ベクトルを成分で表すとベクトルの和は成分同士の和で表されます。
ベクトルＡ　（ａ１，ａ２）
ベクトルＢ　（ｂ１、ｂ２）
ベクトルＣ　（ｃ１、ｃ２）
Ｃ＝Ａ＋Ｂ　であるのであればｃ１＝ａ１＋ｂ１，ｃ２＝ａ２＋ｂ２が成り立ちます。
これは平行四辺形で対角線を求めるというのと同じ内容です。

＞平行でない四辺形の辺に分解されてもいいのではないでしょうか

「平行でない四辺形」とは「平行四辺形ではない四辺形」という意味ですね。
これは意味を持たない文章です。
分解した結果が平行四辺形になるということです。
この平行四辺形になるというのは合成の規則から決まっていることです。
ベクトルというのは１つのベクトルを矢印で表すという事だけで決まっている量ではありません。たくさんあるベクトルがすべて同じ規則で合成されたり、分解されたりするのです。

基準になる方向が直交しているか斜交しているかには関係ありません。

ベクトルを「大きさと方向をもった量である」というだけでは不足していると思います。
合成の規則まで含めて定義が成立しているのです。
矢印だけでは「ベクトル」という言葉を使うことができません。
紙に書いた矢印は単なる図形の一つであるというだけになります。
「ベクトル」という言葉を使ったのであれば合成の規則も認めたことになります。

mazeran · Answer

「分解」するのに「平行四辺形」に疑問を持たれたようですね。
では、「合成」で考えてみられたらどうでしょうか。

２つのベクトルを合成する場合、作図の結果は平行四辺形になりますよね。
どなたかも書かれていましたが、『もっとも簡潔に表す』と平行四辺形になるわけです。
・・・「合成」についての平行四辺形にも疑問をお持ちでしょうか？。（であればまた次回に。）

その逆を使って、１つのベクトルを分解する場合は平行四辺形で表す方が、人間が理解し易い。
合成が「真」であれば分解も「真」である。

ddtddtddt · Answer

力とか速度のベクトルでなく、ベクトル自体に注目されているなら、これは数学板向きの質問と思います。という訳で、そういう態度で答えます。

ベクトルとは道具です。数学的道具です。そのアイデアの威力が最初に示されたのは、ふつうの直行座標系（デカルト座標）においてです。デカルト座標においてなら、平行四辺形（長方形）に分解される事に異論はないと思うのですが・・・。

その後、斜交座標系（座標軸が直角でない座標系）においても、平行四辺形分解を考えれば、デカルト座標と全く同じ取り扱いが可能なのが、わかります。

さらに任意の曲線座標を考えたとき、局所的には、デカルト座標か斜交座標として扱える事が、もう少し後でわかります。そのような応用が見つかったので、やっぱり「道具としてのベクトル」は、「平行四辺形分解できる物」として「定義しよう」となりました。

上記では、#2さんの答えの背景を、述べたつもりです。しかし、力とか速度のベクトルが何故「平行四辺形分解」できるのか？、と問われているなら、それは数学でなく物理の問題です。それは経験事実です。

cocacola2010 · Answer

図を見てください
http://www.geocities.jp/newtondynam/sugaku/picsugakub/kaho.jpg

ベクトルO→Pを分解するということは、右図のように
ベクトルA、ベクトルBをつなぐとOからPに辿りつくということです。
ベクトルBの線分を平行に移動すると左図のようになり、これは必然的に
平行四辺形になります。

fjnobu · Answer

どんな形にしても良いのです。ですが見た目で正確に分解するのは一番判り安いのではないでしょうか？
単純な形にするのが間違い無いですよ。
だから、平行四辺形になります。

ベクトルはなぜ平行四辺形の辺に分解されるのか

質問者様が混乱されるといけないので、一回だけにします。

ご質問は、「力の平行四辺形の法則」はなぜ成り立つのか、ということでしょうか？

＃５です。

#3です。

力をイメージしているということですからそれを踏まえて書きます。

「分解」するのに「平行四辺形」に疑問を持たれたようですね。

力とか速度のベクトルでなく、ベクトル自体に注目されているなら、これは数学板向きの質問と思います。

この回答への補足

図を見てください

どんな形にしても良いのです。

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