【平面上の速度の合成について】 《質問❶》 この考え方は合っていますか? 【v↑=v₁↑+v₂↑】こ

【平面上の速度の合成について】
《質問❶》
この考え方は合っていますか?

【v↑=v₁↑+v₂↑】この様な公式があるが、2つのべ
クトルを「合成」している訳で、2辺を足している
わけでは無い。ベクトルは「大きさ」と「向き」を
併せ持つ概念だから、向きによって1+2=3のよ
うに単純にはいかない。

《質問❷》
質問❶の考え方が合っているのだとすれば、①の問
題で与えられているのは『速さ』というスカラー量
だから、そのせいで単純に足し算出来ない訳ですよ
ね。公式を用いるにはベクトルである『速度』に変
換しなければいけませんが、そうするにはどうすれ
ば良いのでしょうか?
解答(❷)では三平方の定理を用いていますよね。ニ
乗すれば、向きの考えも加わった『速度』になるの
ですか?

《質問❸》
長方形(または正方形)の場合は、この問題(①)
の様に三平方の定理(または三角比)を用いて求めら
れる様ですが、平行四辺形の場合はどうなるのでし
ょうか。
③の図の様に、平行四辺形の1つの角度が分かって
いないと求められないと思うのですが、この考え方
は合っていますか?

質問者からの補足コメント

• spookyactionさん、
  
  ＞質問２については、与えられているのは「速さ」以外に川の横断方向という「向き」も与えられているので、流れに対して垂直な向きに1.6m/sという具合に「速度」(ベクトル）が与えられています。
  流れに垂直な向きに1.6m/s, 流れに沿った向きに1.2m/sで、この二つの速度がなす角度は90度なので、合成時には三平方の定理を使えます。
  
  では、1.6m/sと1.2m/sは【スカラー】ではなく【ベクトル】という事ですよね。
  それなら、何故
  『v↑=v₁↑+v₂↑』の公式にそのまま1.6と1.2を当てはめては駄目なのでしょうか？
  
  何度も申し訳ありません。
  最初に読ませて頂いた時は納得したのですが、よく読んで考えていく内に、分からなくなってきてしまいました。

    補足日時：2020/12/12 16:07

No.7 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/12 19:35

＞その続きは図上で作図によって解決することになります

つまり『v↑=v₁↑+v₂↑』の公式を使わずに、それ以外の方法(三平方の定理や三角比等)を使って解いたら良いのですね。

＞＞＞いや誤解があります
ベクトル同士の足し算ではかならず
『v↑=v₁↑+v₂↑』の公式を使うのです！！

で、『v↑=v₁↑+v₂↑』の公式にあてはめたので
v↑=v₁↑+v₂↑
=(流れに対して垂直な向きに1.6m/s)+(川下に向かって1.2m/s)
なのです
（ここまでは、たとえベクトルV1とV2が平行でも同じです）

で、1.6+1.2という計算は小学校で習ったから簡単ですが
たいていの人は高校生になって
(流れに対して垂直な向きに1.6m/s)+(川下に向かって1.2m/s)
という向き付きの計算にはじめてであったことでしょう

この向き付きの計算の仕方が図上での矢印の合成なのです

図上で矢印を合成したら向きは計算なしでもある程度わかりますが
長さは計算に頼らなければいけません

そこで、今回は利用しやすい三平方の定理を使って
図上で合成した矢印の長さを計算しているわけです

で、図から計算紙面にもどって
(流れに対して垂直な向きに1.6m/s)+(川下に向かって1.2m/s)
=川下から角度θの向きに2.0m/s
という続きをかけば　
v↑=v₁↑+v₂↑の計算の完成です
（ただし今回はθが具体的には求まらないので、tanθ=1.6/1.2=4/3というように書き添えておけば完璧です）



次に成分に分ける方法です

v↑=v₁↑+v₂↑
=(流れに対して垂直な向きに1.6m/s)+(川下に向かって1.2m/s)
ですから　
流れに対して垂直な成分は　→V1が1.6
→V2=0です
ゆえに
→Vの流れに対して垂直成分=V1の垂直成分+V2の垂直成分
＝1.6+0
=1.6

同様に　川下への成分は　→V1が０　→V2が1.2なので
→Vの川下向き成分=0+1.2=1.2

このことから　→Vは垂直方向へ1.6 川下方向へ1.2の速度を持っており
合成すればその向きは（先ほどの）角度θをなし
大きさは（三平方の定理などから）2.0ということがわかります

夕食前なんで大雑把にこんな感じです
まだわからなければコメントください

この回答へのお礼

お礼が大変遅くなってしまい申し訳ありません。
とても分かりやすかったです…！！
御二方共、何度もありがとうございました。
頑張ります。

お礼日時：2020/12/20 15:11

No.6 回答者： spookyaction 回答日時： 2020/12/12 17:09

> 『v↑=v₁↑+v₂↑』の公式にそのまま1.6と1.2を当てはめては駄目なのでしょうか？

あなたの解答②に二つのベクトルを合成した例がのっています。
上向き（川を横断する向き）に速さ1.6m/s、右向き（川の流れのむき）に速さ1.2m/sの二つの速度ベクトルがあり、その二つを合成した結果（合成された速度）が右斜め上に向かて伸びる矢印になります。ベクトルの和（合成）はこのようにして求めます。その図を見ればわかるように、一辺1.6と1.2の長方形の対角線の長さは1.6+1.2にはなりません。解答②に書かれているように、長方形の対角線の長さは単に二辺の和ではなく、三平方の定理を使う必要があるのはわかりますよね。

この回答へのお礼

なるほど…！分かりました。
御二方とも凄く丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2020/12/13 16:04

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/12 16:59

#4さらに補足

『v↑=v₁↑+v₂↑』の公式に 正確に当てはめたものが
v↑=v₁↑+v₂↑
=(流れに対して垂直な向きに1.6m/s)+(川下に向かって1.2m/s)…①
です

一方あなたが疑問に思っている当てはめ方は
v↑=v₁↑+v₂↑
=1.6m/s+1.2m/s…②です

お気づきのように②ではベクトルの向きの情報が欠落しているので
正確に公式に当てはめたことにはならないんです

①が正確で
その続きは図上で作図によって解決することになります
（または、川下方向の成分と川に垂直な成分に分解して
川下成分同士の計算、川に垂直な成分同士の計算　という方法でも解決できます）

この回答へのお礼

masterkotoさん、代わりに回答して下さりありがとうございます…！

＞その続きは図上で作図によって解決することになります

つまり『v↑=v₁↑+v₂↑』の公式を使わずに、それ以外の方法(三平方の定理や三角比等)を使って解いたら良いのですね。

＞（または、川下方向の成分と川に垂直な成分に分解して
川下成分同士の計算、川に垂直な成分同士の計算　という方法でも解決できます）

この方法がよく分かりません。
本当に何度も申し訳ないです。
もし宜しければ、この計算の具体的な方法も教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2020/12/12 17:07

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/12 16:36

補足の疑問に解答します（長文ですが後半部分は詳細ですので気が向いたら読んでください）

　
『v↑=v₁↑+v₂↑』の公式にそのまま1.6と1.2を当てはめては駄目なのでしょうか？　
といっていますが、それはベクトルの意味をあなたが分かっていない証拠です
1.6や1.2に大きさの情報は含まれていますが
向きの情報は含まれていますか？
この公式はベクトルの式ですから
これに当てはめるなら　大きさだけでなく向きまで含んだ量を当てはめないといけないのです
単純に1.6+1.2としたのでは（例外を除き）向きの情報が欠落しているのでダメなんです


詳細
#2の　2にも書きましたが
基本的にベクトルの足し算は図上で平行四辺形の対角線を描くという方法で行われます
ただし、2つのベクトルが直線上にある時は平行四辺形がつぶれて直線になっているから平行四辺形の作図法が取れないので　単順に1.6±1.2などという計算になります

もっと詳しく言えばベクトルの足し算とは次のように行うのです(ベクトル同士の角度が何度であろうと同じ作図法になります）
v↑=v₁↑+v₂↑　について　まずは→V1を作図します
次に→V１の矢印の先端と→V2の矢印の根元を一致させて→V2を書くようにします
で、→V1の矢印の根本と→V2の矢印の先端を結んだものが→Vになるのです
（→Vの根本は→V1の根本と一致、→V2の先端は→Vの先端と一致）
このようにして作図しても、平行四辺形の対角線を作図する方法でも
→Vの角度と長さが同じになることを実際に作図して確かめてみてください！
（ベクトルというものは平行移動可能ですから
矢印の角度と長さが一致なら　それらは全く等しいベクトルということを意味しています）
このようにベクトルの足し算とは、1つ目のベクトルの先端に2つ目のベクトルの根元をつぎ足し（2つ目のベクトルの先端に3つ目のベクトルの根元をつぎ足し・・・）ていって最後に1つ目の矢印の根元から、最後につぎ足した矢印の先端に矢印を引くということなのです！
で、平行四辺形法より後者の作図法が分かりやすいのは
２つのベクトルが直線の時です
直線の時もおなじ要領で矢印の継ぎ足しを行ってみてください
あなたが上げた問題で仮に→V1と→V2が平行ならば
いま解説した要領で作図して、最後に1つ目の矢印の根元から２つめの矢印の先端に向かって矢印を引けばそれは→V1と→V2がつくる直線上にできますよね
なので、その矢印の長さは　
(1つ目の矢印の長さ)±(2つ目の矢印の長さ)
になりますよね
このことから複数のベクトルが平行で一直線上に並ぶケースでは単純に
1.6±1.2(マイナスは互いの矢印の向きが真逆の時）とできるのです

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/12 15:24

#2補足

質問3について
角度が分かっていないと確かに3つ目の図の合成ベクトルは求められないケースが多いです

ただし、ベクトルには成分という概念があります
例えば
→V=(1,2)というのは→Vにｙ軸と平行な光線を当てればx軸にうつる影の長さが１で、ｙ軸と垂直な光線をあてればy軸にうつる影の長さが2といういみで、
言い換えれば　→(V)=(1,2)は
原点からx軸方向にのびる長さ１の矢印と
原点からｙ軸方向に延びる長さ２の矢印を
ベクトル的に足し算したものということです

なので、角度不明でも成分が
→V₁=(1,2)
→V₂=(3,4)と分かっているなら
→V=(→V1)+(→V2)=(1,2)+(3,4)=(1+3,2+4)=(4,6)
という計算から
→Vの様子が正確に分かってしまうこともあります・・・詳しくは数学のベクトルの単元で扱います

この回答へのお礼

再びありがとうございます。
確かに…！角度不明でも求められる場合があったんですね。
ありがとうございます！！

お礼日時：2020/12/12 15:31

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/12 15:15

1.ほぼOK・・・今の教育課程では習うかどうかわかりませんが

数学のベクトルの単元で詳しく扱います

２、まずこの問題文にはあらかじめ
川の流れ＝川下の向きに　～m/s　や
川を横切るように＝川の流れに直角な向きに　～m/s
というように向きと大きさが併記されているので
２つが併記されている時点でこれはベクトルなんです
だからスカラーを変換云々というのはやや的外れです

そしてベクトルは次のように考えるのが順当です
まずは図示するのがベクトルの扱い方の第一段階です（ただし、精通すればベクトルの成分計算も可能ですが・・・）
ベクトルの図示の仕方は次のようになります
図の適切ない位置に　物体の速度などの物理量を表すベクトル（矢印)を書く
速度の大きさを矢印の長さで表現して、その向きは矢印の向きで示すのです
で、分かりやすいようにこの矢印は1.6m/sを意味している　などという添え書きをしておきます
で、より正確な図を目指すなら1.6m/sは矢印の長さ1.6cm（等倍） とか
1.6cm/sは矢印の長さ0.8cm(1/2倍に縮小）とかきめて
矢印の長さと、実際の速度の大きさを比例させて図を書くのです！！
このようにして、向きと大きさをもつ物理量（ベクトル）・・・この問題では速度を図に表しておけば、図を見ただけでベクトルの向きと大きさが分かるというわけです

で第2段階は　ベクトルの足し算です
ベクトルが一直線上に並んでいるときは単純に数値の足し算（向きが正反対の場合は引き算）ができますが
それ以外の時は平行四辺形を作図してその対角線を足し算の結果とする方法を用います

第三段階
平衡四辺形・対角線を正確に作図すれば、
ベクトルの足し算の結果の→ｖ向きと
長さに比例する→ｖの大きさがわかりますが
それでは定規を使わなくてはならないし、誤差が出てしまえば不正確なものになってしまいます
そこで、→vの大きさを計算で求めるのです
縮尺等倍の矢印を書いたとして（ちなみに縮尺1/2倍などの図を書いた場合でも自分の中では縮尺等倍の図だと思い込んでおけば結果は同じになります）
正弦定理とか、余弦定理とかを用いて平行四辺形の対角線の長さを計算すれば、その対角線の長さから→Vの大きさが求められるというわけです
で、今回はたまたま直角三角形なんで、対角線の長さを求めるには三平方の定理がぴったりくるというわけです

３、２ですでに述べましたが
数学１程度の図形の知識を用いて平行四辺形の対角線を求めます
そのためには、三角比などをよく勉強しておくことです

この回答へのお礼

ベクトルの考え方まで丁寧に教えてくださり、ありがとうございます！！
やっとわかりました！

お礼日時：2020/12/12 15:30

No.1 回答者： spookyaction 回答日時： 2020/12/12 15:11

質問1についてはそのとおりです。

質問２については、与えられているのは「速さ」以外に川の横断方向という「向き」も与えられているので、流れに対して垂直な向きに1.6m/sという具合に「速度」(ベクトル）が与えられています。
流れに垂直な向きに1.6m/s, 流れに沿った向きに1.2m/sで、この二つの速度がなす角度は90度なので、合成時には三平方の定理を使えます。
質問３はそのとおりで、二つの速度が作る角度がわかっていないと合成後の速さは計算できません。

この回答へのお礼

なるほど…！
『速さ』と書いてあるならば必ずその数字を表すものがスカラー量だとは限らないんですね。向きも書かれてあるか、しっかり見るようにします。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/12/12 15:29