数学の三角形、三角関数の範囲の問題について質問です

1、
0°＜θ＜180°とするとき、方程式
3sin^2θ+（√3-3）sinθcosθ-√3cos^2θ＝0の解は
θ＝｛問一｝、｛問二｝である。

2、
△ABCにおいて、AC＝4、BC＝6、∠C=60°であればAB＝｛問三｝であり、
この三角形の内接円の半径は｛問四｝である。

3、
0°＜θ＜180°とするとき、方程式√3（cos^2θ-sin^2θ）＝2sinθcosθの
解はθ＝｛問五｝、｛問六｝である。

4、
一辺の長さが3aの正三角形ABCにおいて、辺BCを三等分する点をD、Eとする。
このとき、AD＝｛問七｝であり、cos∠DAE＝｛問八｝である。

5、
円に内接する四角形ABCDがあり、対角線ACとBDは垂直で、この四角形の
面積は50/9である。ACとBDの交点をEとし、∠BAE=45°、AE＝1、BC=aとすれば、
aの値は｛問九｝である。また、この円の半径は｛問十｝である。

この五題がわかりません；；；
解き方、答えを教えてください、よろしくお願いします！；；

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/26 23:35

方程式の問題を先にやります。

1、
0°＜θ＜180°　……（１）とするとき、方程式
3sin^2θ+（√3-3）sinθcosθ-√3cos^2θ＝0の解は
>θ＝｛問一｝、｛問二｝である。
因数分解すると
（3sinθ＋√3cosθ）（sinθ－cosθ）＝０
3sinθ＋√3cosθ＝０より、合成の公式より
２√3sin（θ＋30°）＝０
（１）より、30°＜θ＋30°＜210°だから、
θ＋30°＝180°　よって、θ＝150°　……問１　
sinθ－cosθ＝０より、合成の公式より
√2sin（θ－45°）＝０
（１）より、－45°＜θ－45°＜135°だから、
θ－45°＝0°　よって、θ＝45°　……問２

3、
0°＜θ＜180°とするとき、方程式√3（cos^2θ-sin^2θ）＝2sinθcosθの
>解はθ＝｛問五｝、｛問六｝である。
１と同じ考え方です。
与式を２倍角の公式により書き換えます。
√3cos2θ＝sin2θ
sin2θ－√3cos2θ＝０より、合成の公式より
２sin（2θ－60°）＝０
（１）より、－60°＜2θ－60°＜300°だから、
2θ－60°＝0°，180°　2θ＝60°，240°
よって、θ＝30°，120°　……問５問６

2、
△ABCにおいて、AC＝4、BC＝6、∠C=60°であればAB＝｛問三｝であり、
>この三角形の内接円の半径は｛問四｝である。
余弦定理より
ＡＢ^2＝６^2＋４^2－２×６×４×cos60°　cos60°＝1/2より
　　　＝２８
ＡＢ＝２√７　……問３
三角形の面積Ｓと内接円の半径ｒの公式　
Ｓ＝ｒｓ　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２　より、
Ｓ＝（１／２）×６×４×sin60°　　sin60°＝√３／２より、
　＝６√３
ｓ＝（６＋４＋２√７）／２＝５＋√７
ｒ＝Ｓ／ｓ＝６√３／（５＋√７）
　　　　　＝６√３（５－√７）／（２５－７）
　　　　　＝√３（５－√７）／３　……問４
4、
一辺の長さが3aの正三角形ABCにおいて、辺BCを三等分する点をD、Eとする。
＞このとき、AD＝｛問七｝であり、cos∠DAE＝｛問八｝である。
図を描いて考えましょう。
△ＡＢＤで余弦定理より
ＡＤ^2＝（３ａ）^2＋ａ^2－２×３ａ×ａ×cos60°＝７ａ^2
よって、ＡＤ＝√７ａ　……問７
△ＡＣＥで同じく、ＡＥ＝√７ａ，ＤＥ＝ａだから、
△ＡＤＥで、　ＤＥ＝ａだから余弦定理より、
cos∠DAE＝｛（√７ａ）^2＋（√７ａ）^2－ａ^2｝／２×√７ａ×√７ａ
　　　　＝１３ａ^2／１４ａ^2＝１３／１４　……問８　　　

5、
円に内接する四角形ABCDがあり、対角線ACとBDは垂直で、この四角形の
面積は50/9である。ACとBDの交点をEとし、∠BAE=45°、AE＝1、BC=aとすれば、
>aの値は｛問九｝である。また、この円の半径は｛問十｝である。
これは図を描かないと、説明読んでも理解できないと思います。
△ＡＢＥで、対角線ACとBDは垂直だから、∠ＡＥＢ＝９０°
∠BAE=45°　……（１）だから、残りの角∠ＡＢＥ=45°　…（２）です。
だから、△ＡＢＥは直角二等辺三角形
よって、ＢＥ＝ＡＥ＝１　……（３）です。
△ＥＣＤについて考えます。
（１）より弧ＢＣ上の円周角だから、∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝45°
（２）より弧ＡＤ上の円周角だから、∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝45°
以上より、∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ＝45°だから
△ＥＣＤは直角二等辺三角形
よって、ＥＣ＝ＥＤ＝ｘとおきます。図から
内接四角形の面積＝△ＡＢＣ＋△ＡＤＣ＝５０／９
（３）より、
△ＡＢＣ面積＝（１／２）×（１＋ｘ）×１
△ＡＤＣ面積＝（１／２）×（１＋ｘ）×ｘ
△ＡＢＣ＋△ＡＤＣ
＝（１／２）×（１＋ｘ）×１＋（１／２）×（１＋ｘ）×ｘ
＝（１／２）（１＋ｘ）^2
＝５０／９　より、
（１＋ｘ）^2＝１００／９
１＋ｘ＝１０／３だから、ｘ＝７／３　……（４）
△ＢＣＥで、（３）（４）より、
ａ^2＝ＢＥ^2＋ＥＣ^2
　　＝１^2＋（７／３）^2
　　＝５８／９
よって、ａ＝√５８／３　……問９
円の中心をＯとする。
△ＢＯＣで、半径ＢＯ＝ＣＯ＝Ｒとする。
∠ＢＯＣは45°の円周角の中心角だから、∠ＢＯＣ＝９０°
だから、Ｒ^2＋Ｒ^2＝ａ^2　が成り立つ。
２Ｒ^2＝５８／９　Ｒ^2＝２９／９
よって、Ｒ＝√２９／３　……問１０

のようになりました。
問題５１つだけでも結構大変なので、次回からは問題を分けて提示した方がいいと思います。
間違いなど何かあったら連絡をお願いします。

No.2 回答者： noname#157574 回答日時： 2012/01/26 16:47

問一，三等分，五題は算用数字を用いて問1，3等分，5題と書きましょう。

漢数字だと読み取りにくいので。

No.1 回答者： LHS07 回答日時： 2012/01/26 13:57

問題を解くより

教科書を最低３回じっくり読み、また全てのも問題を回答していったほうがいいと思います。
また、基本をしっかり抑え覚えるようにしてください。

基本を理解していないと思います。