中学数学の解説をお願いします。

次の問題の解説をお願いします。

三角錐AEFPの体積をV1、三角製GEFPの体積をV2とするとき、
V1:V2を最も簡単な整数の比で表しなさい。

No.1 ベストアンサー 回答者： moto_koukousei 回答日時： 2012/01/26 19:29

ヒントです。

（同じ位置に底面のある２つの三角錐が高さも同じ）場合、
２つの三角錐の体積の比は、底面にある２つの三角形の面積比と同じ。
（三角形の頂点から対辺に線を引いて分けた２つの三角形）の場合、
２つの三角形の面積比は、分けられた線の長さの比と同じ。
　
以上を下図にしました。
　
下図で、ABCDEFGHが直方体ならば、AEは平面EFGHに垂直なので∠AEG＝90°となり、
直角三角形AEGの辺の長さは、ピタゴラスの定理で計算できます。
APとGPは、ピタゴラスの定理と方程式でも解けます。
APとGPは、△AEGと△APE、△EPGの相似の相当辺の比でも解けます。
　
下図で、ABCDEFGHが直方体であるとは確認出来ていない場合でも、
四角形ABCDと四角形EFGHが合同で、かつ長方形であるならば、
EFとFGの長さからピタゴラスの定理でEGの長さが６と計算できます。
三角形AEGの３辺が、6,8,10なら、∠AEG＝90°と判明します。
　
四角形ABCDと四角形EFGHが合同でなかったり、長方形でなくて、平行四辺形だったり、台形等だったりすると、計算はできません。

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/27 10:19

三角錐AEFPの体積をV1、三角製GEFPの体積をV2とするとき、

>V1:V2を最も簡単な整数の比で表しなさい。

三角錐の体積＝（１／３）×底面積×高さ
三角錐AEFPの頂点をＦ，底面を△ＡＰＥ，三角製GEFPの頂点をＦ，底面を△ＧＰＥと見ると、
２つの立体は高さが共通だから、体積の公式より、体積の比は底面積の比で決まる。
だから、V1:V2＝△ＡＰＥ：△ＧＰＥ
△ＡＰＥは、頂点をＥ，底辺をＡＰ，△ＧＰＥは、頂点をＥ，底辺をＧＰと見ると
高さＰＥが共通しているから、面積の公式から、面積の比は底辺の比で決まる。
だから、△ＡＰＥ：△ＧＰＥ＝ＡＰ：ＧＰ
以上より、体積比＝底面積の比＝底辺の比だから、
V1:V2＝△ＡＰＥ：△ＧＰＥ＝ＡＰ：ＧＰ　が成り立つ。
だから、体積比を求めるためには、底辺の比ＡＰ：ＧＰを求めればいいことになります。

△ＡＥＧで、ＥＧ^2＝１０^2－８^2＝１００－６４＝３６　ＥＧ＝６
△ＡＥＧ面積は、（１／２）×ＡＥ×ＥＧ＝（１／２）×８×６＝２４
底辺をＡＧ＝１０高さをＰＥと見ると、面積は
（１／２）×１０×ＰＥ＝２４　よって、ＰＥ＝２４／５
△ＡＰＥについて、
ＡＰ^2＝ＡＥ^2－ＰＥ^2
　　　＝８^2－（２４／５）^2
　　　＝８^2・４／２５　よって、ＡＰ＝３２／５
△ＧＰＥについて、
ＧＰ^2＝ＧＥ^2－ＰＥ^2
　　　＝６^2－（２４／５）^2
　　　＝６^2・９／２５　よって、ＧＰ＝１８／５
これから、V1:V2＝ＡＰ：ＧＰ＝３２／５：１８／５＝１６：９
よって、V1:V2＝１６：９

になりました。どうでしょうか？

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/01/26 19:39

四角錐GEFPは四角錐AEFGから四角錐AEFPを切り取ったものです。

従ってAFEGとGEFPの体積比が判ればAEFPとGEFPの比もわかります。

AEFGとGEFPは底面EFGを共有しているので、高さの比が判れば体積比も判ります。高さの比は
AGの長さ：PGの長さ
とひとしくなります。ここで△AEGと△PEGは互いに相似な直角三角形であり、三平方の定理よりEGの長さは６、PGの長さは６＊６／１０＝３．６です。