行列の二項定理を使った問題です。

数Cの問題です。
わからなかったので、誰か教えてください。

二項定理の応用です。

(1)二次の正方行列Aが実数αに対し(A－αE）の二乗＝０（零行列）を満たすとき、
任意の自然数ｎに対して

Aのｎ+１乗＝（ｎ＋１）αのｎ乗A－ｎαのｎ+１乗E
が成り立つことを示せ。
ただし、Eは単位行列、０は零行列である。


(2)A＝（ 3 2 -2 -1）←二次の正方行列 のとき自然数ｎに対してAのｎ乗を求めよ。

( 3 2 ) ↑
(-2 -1 )


協力よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/02/11 03:58

どこがわからない?

No.2 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/02/11 04:27

う～ん、何が分からない？　と聞きたくなります。

σ(・・*)も。

分かるところまでやろうよ。

そうしないと、こっちもね、全部やると講義になるし

自分でやらないと身に付かないよ。

　＃後で困るのはあなたなんだけど。

累乗はね、一応規則があって、こんな風に書きます。

（１）

（Ａ－αＥ）＾２＝０（０行列）　のとき

Ａ＾（ｎ＋１）＝｛（ｎ＋１）α｝＾ｎ　×Ａ　－　（ｎα）＾（ｎ＋１）　×Ｅ　

右辺　Ａ　の前がちょっと怪しいね。　Ｇ＾ｚ　とかくと　Ｇのｚ乗ね。

ちょっと確認してください。

２項定理を使うんだろうか？　二乗して０行列になるのはどんな行列だろうか？

　（Ａ－αＥ）＾２＝０　これ、から　Ａの形が見えるといいなぁ～。


（２）は、対角化を習っているかなぁ？

できたら一発なんだけど。教科書見て対角化というのがあるか探してみてください。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/02/11 14:07

No.2さん（どもども）

＞２項定理を使うんだろうか？　二乗して０行列になるのはどんな行列だろうか？

ですね．二項定理じゃないですよねー

x^{n+1} = (x-a)^2 Q(x) + Ax + Bとする
AとBをaで表せ

かなー
ちなみに
a^{n+1} = Aa +B
(n+1)a^{n} = A
となるので証明はほとんど終わり

(2)については
まあ，ケーリー・ハミルトンで+(1)を使うってことで終りです
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=Oだからねー．

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/02/11 15:36

「二項定理」に誘導するなら

A = B + αE, B^2=O
だろうねぇ.