質問の意味が分かりかねるかもしれませんが、例えば
x>0において、x+1/xの最小値を求めよ。
という問題は、相加相乗平均の関係より
x+1/x≧2√x*(1/x)=2 ゆえに最小値は2
というように、文字が消えます。
しかし、次の問題
x+y+z=π, x>0, y>0, z>0のとき、sinx*siny*sinzの最大値を求めよ
という問題で、
相加相乗平均の関係より
sinx*siny*sinz≦{sinx+siny+sinz/3}^3 … (A)
等号成立はsinx=siny=sinzより、x=y=z=π/3
ゆえに、最大値は(√3/2)^3=3√3/8
というふうにやろうとしたのですが、
(A)の時点で変数が残っています。
このやり方は可能でしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(A)の右辺は、勿論、{(sinx+siny+sinz)/3}^3 ですよね。
{}付けているので、単なる内側の()忘れでしょうけど。
あ、ついでにいうと、「~しかねる」は、現代語では、原則、
自分の行動にしか使わない、別に謙譲語という訳ではなく、
ほとんど「遠回しなお断り」専用?^^化している言葉なので、
こういう使い方はしない方が無難です。
で、本題ですが、
勿論、sinx,siny,sinzが正、などを示した上の話ですよね。
原則としては、相加平均相乗平均の大小関係は、不等式の
片方が、定数になる、少なくとも、うまく組み合わせて、
定数にできるようでないと、非常に使いにくい代物ですが、
後の運用次第では、絶対いけないというものでもありません。
逆にいうと、できたとしても、そこらへんを示すのは、
結構大変だ、ということで、実際には、なかなかお目に
かかれない、ということなのですが…
この場合も、
sinx*siny*sinz≦{(sinx+siny+sinz)/3}^3 … (A)
で、確かに、等号が成り立つ場合があることが
示せていますが(たまに、ちゃんと定数になる問題
でも、実は、等号が成立する場合がない、という
こともあったりするので、そこも気をつけて)、
その前に、(A)の右辺は、等号が成り立つときより、
もっと大きな値をとるかもしれない、すると、
左辺は、右辺よりも小さいとは言え、等号成立の
ときより、もっと大きい値をとる可能性が出てくる、
ということで、この線で示せるとしたら、例えば、
等号成立のとき、(A)の右辺が最大値をとることを
示す必要が出てきます。
こういう後の処理が、意外に簡単なこともありますが、
示せるけど大変、または、そもそも示せない(けれど、
全体としては、等号成立のときに、左辺が最大値をとる)、
最初から、等号成立のときに、左辺が最大なのが幻想、
と、色んな場合が出てくるので、普通は、そちらに持ち
込まない方が無難、ということになっている訳です。
No.3
- 回答日時:
この問題に、相加平均・相乗平均が使えないのは #1の説明の通りなんだが、それが相加平均・相乗平均を使う時の盲点。
この問題は、z=π-(x+y)として、sinx*siny*sinzに代入し、x+y=θ(0<θ<π)とすると 2P=sinθ{cos(x-y)-cosθ}≦sinθ{1-cosθ}。 何故なら cos(x-y)≦1
そこで、sinθ{1-cosθ}の最大値を0<θ<πの条件で考える。
sinθ>0、{1-cosθ}>0から sinθ{1-cosθ}の2乗の最大値を考える。それには 微分だな。
続きの計算は 自分でやって。
No.1
- 回答日時:
最後の「ゆえに、最大値は(√3/2)^3=3√3/8」がなければ問題ないんだけどね....
この「等号成立」というのはつまり
sinx*siny*sinz={(sinx+siny+sinz)/3}^3
を満たすということなんだけど, 右辺の sin x + sin y + sin z も変化するということを忘れちゃいけません. 右辺が定数なら確かに「等号が成り立つときに最大」といえるんだけど, 定数でない場合には「等号が成り立つから最大」とはいえませんよ.
大雑把にいうと:
絶対不等式 -x^2 + 2x ≦ x + 3/4 は x = 1/2 のとき等号が成り立ちます. では, -x^2 +2x は x = 1/2 のとき最大になりますか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学トリック!間違ってるところを指摘してください。 「問題。sinx+2/sinxの最小値を求めよ。 3 2022/09/21 10:52
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 -π<x≦π、f(x)=|sinx|+1 である周期関数f(x)のフーリエ級数を求めよという問題の解 1 2023/02/06 18:20
- 数学 数学の問題です。回答よろしくお願いします。 sinが無限に続く関数f(X)=sin(sin(sin( 3 2022/09/21 10:40
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 統計学 統計学の問題です よろしくお願いします 回帰直線 次のデータから集計表を作成し,以下の問いに答えよ。 1 2023/01/31 18:55
- 統計学 統計学の問題です よろしくお願いします 回帰直線 次のデータから集計表を作成し,以下の問いに答えよ。 2 2023/01/31 23:36
- 数学 正数a、bに対し次の関数の最大値、最小値(もしあれば)を求めよ (1)x ^a(1-x)^b (0≦ 2 2023/07/19 17:29
- 数学 ε-δ論法について 3 2023/02/21 14:29
- 数学 t=tan(x/2)の置換積分について質問です。写真の問題では、(1)でt=tan(x/2)として、 6 2022/11/21 22:59
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
√2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体...
-
数学の証明問題なんですが…
-
証明が合っているかどうか?
-
チェビシェフの不等式 証明につ...
-
述語について成り立つ関係
-
無理数から無理数を引いた結果...
-
なぜ等号は常に成り立たないの...
-
部分分数分解について。 1/a・b ...
-
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
-
この数学の問題が解けません。...
-
相加・相乗平均を使う不等式
-
二項定理使用の証明
-
相加平均と相乗平均の関係の意味
-
等比数列の和の公式なんですが…
-
位相空間
-
絶対値を含む三角不等式の証明...
-
nの階乗と2のn乗の比較
-
数学です。2番と3番の等号成立...
-
次の曲線と2直線及びx軸で 囲ま...
-
ランダムウォークのマルコフ性...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
nの階乗と2のn乗の比較
-
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
-
数II a^2−ab+b^2≧a+b−1の不等式...
-
||a+b|| ≦ ||a|| +||b||の証明
-
(n!)^2≧n^n(nは自然数)
-
部分分数分解について。 1/a・b ...
-
なぜ等号は常に成り立たないの...
-
(1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2
-
数学の証明問題なんですが…
-
「次の不等式を証明せよりまた...
-
無理数から無理数を引いた結果...
-
絶対値の不等式の証明ができません
-
√2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体...
-
証明が合っているかどうか?
-
数学Ⅱ 不等式の証明問、3(a∧2+b...
-
相加・相乗平均は最小値を示す...
-
複素数、共役複素数の証明
-
数学的帰納法の問題
-
十分性の確認の問題について
-
数学的帰納法の証明2
おすすめ情報