重力のした仕事と位置エネルギーの関係

次のケース１について、お伺いします。
基本的な内容なのですが、困惑しております。どうかヒントを下さい。

（ケース１）
地表（高さ0m）にある物体（質量 m）を高さhまでもっていきます。
すると、物体はmghの位置エネルギーをもちます。
ところでこの位置エネルギーは、重力(-mg)のする仕事と関係があるかと思います。
しかし重力のする仕事は、-mghと負の値です。

重力のするこの負の仕事と位置エネルギーをどう結びつけて考えるのかが分かっておりません。

また、物体を高さhに持っていくには、重力に逆らう上向きの力が必要で、重力と大きさが同じで
向きが異なる力F　（= mg)という力でhまでもって行ったとします。

Fのした仕事は、mghで正ですが、すると物体は正味でゼロの仕事（Fのした仕事＋重力のした仕事 ＝　０）
を受けたことになり、地表にあったときとエネルギー状態が変わらないことになってしまいます。
しかし実際は、位置エネルギーmghをもっているはずです。


たとえば、
（ケース２）として、最初物体が高さhにあったとし、地表に落ちていき、地表に着く直前の速さを求める、という
場合は、
1/2mv^2 = mgh
と求められますが、右辺は位置エネルギーとも見えますが、重力のした仕事で、
重力のした仕事が運動エネルギーに変わったとなり、とても分かり易く納得がいきます。


ケース1をよく説明する方法を教えて頂きたく、どうか宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/03/19 15:48

まず位置エネルギーの前に，その基礎となるエネルギー原理を理解されるとすっきりすると思います。

エネルギー原理
--------------------------------
運動エネルギーの変化＝された仕事
--------------------------------
Δ(1/2・mv^2) = W
or
1/2・mv^2 - 1/2・mv0^2 = W

物体を高さhまでもちあげるとき，
手力がした仕事：F×h = mgh
重力がした仕事：-mg×h = -mgh
された仕事の合計：W = 0

エネルギー原理によって，運動エネルギーの変化がゼロ，ということになります。ちゃんとつじつまが合っていますね？

0 = F・h + (-mgh)

そこで(-mgh)を移項して左辺に持ってきます。

0 + mgh = F・h

左辺は力学的エネルギーの変化分を表しています。これを拡張された「エネルギー原理」と呼ぶことにしましょう。

拡張されたエネルギー原理
----------------------------------------------------------------------
力学的エネルギーの変化＝保存力（上の例では重力）以外の力によってされた仕事
----------------------------------------------------------------------
右辺がゼロの場合，これは力学的エネルギー保存の法則になります。

つまり，位置エネルギーとは

(1)物体を基準点からその点まで移動したときに，重力からされる仕事の符号を変えたもの
または，
(2)物体をその点から基準点にもどすときに，重力からされる仕事
と定義されるわけです。

したがって，位置エネルギーを考えに入れるならば「重力による仕事」はもはや忘れて下さい。符号が異なるだけで同じものなので，両方を一緒に考えることはできないのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
よく分かりました。

お礼日時：2012/03/25 23:53

No.5 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/03/21 13:24

　最初に言いますが、以下は、皆さんの仰っている事と全く同じで、表現が少し意外なだけです。

　F－mg＞0でなければ、物体が位置エネルギーを持つ訳ない。物体が位置エネルギーを持つならば、F－mg＞0であるような、目に見える「持ち上げ過程」があるはずだ。・・・そのような「持ち上げ過程」はあるのですが、「見えずらい」だけです。

＞Fのした仕事は、mghで正ですが、すると物体は正味でゼロの仕事（Fのした仕事＋重力のした仕事 ＝　０）
＞を受けたことになり、地表にあったときとエネルギー状態が変わらないことになってしまいます。

　ここでは、そりゃそうだと敢えて言いいます。その通りです。Ｆ＝mgだったら、物体が持ち上がる訳がありません。だから、上記と、

　　・重力mgに「逆らって」h持ち上げたから、物体は位置エネルギーmghを持つ．　　　(1)

の間には、「見えずらい」F－mg＞0の過程が介在している事になります。それが無限にゆっくり持ち上げるという、数学的理想化（トリック？）です。トリックと言っても、そう思えるかもしれないというだけで、じつはまっとうなものです。


　初めに無限にゆっくり持ち上げない、普通の持ち上げ過程の中で、一瞬で持ち上げる極限を考えます。投げ上げるという方法です。この時には、物体を投げ上げる手の平は、明らかにmgを超えた力Ｆを物体に作用させます。その超過分で、物体は上方へ飛んで行きます。物体はＦによって与えられた速度を、重力によって減らされ、一瞬だけ止まる（速度0の）瞬間があるはずです。その瞬間を狙って、手の平を物体の位置に差し入れ、物体を支える事が出来ます。投げ上げた高さがhだとして、手の平をどければ、ケース２の状況になります。mgを超過する力Ｆは、物体に位置エネルギーmghを与えた訳です。

　以上の過程で邪魔なのは、持ち上げ過程で物体が速度を持ってしまう事です。位置エネルギーについて「だけ」語りたいなら、物体の速度を無視できるような「持ち上げ過程」を、考えるべきです。じっさい投げ上げを小刻みに行う事は可能です。刻みが小さければ小さいほど、力の超過Ｆ－mg＝⊿Ｆは小さくなっていき、物体の速度ｖも小さくなり、高さの増加⊿hも小さくなります。

　各ステップで、物体は⊿h持ち上がるので、⊿Ｆの与えた位置エネルギーは、mg・⊿hであろうという事になります。これの根拠もケース２です。そして無限に小刻みに投げ上げる極限を考えます。⊿Ｆ，ｖ，⊿h→0ですが、無限回の投げ上げなので、無限の時間がかかります。これが「無限にゆっくり持ち上げる」という数学的理想化です。

　「無限にゆっくり持ち上げる」理想化をしても、各ステップでの位置エネルギーの増加はmg・⊿hのはずなので、最終的にh持ち上がるならば、最終的に位置エネルギーの増加は、mg・hに違いないという話になります。この時、各ステップで物体を支えるべき手の平から物体への力はmgで、手の平は物体に伝えるべき力Ｆの測定器として使える事がわかります。最終的な位置エネルギーの増加は、mg・hだからです。以上が、(1)の裏事情（？）です。


　裏事情がわかると、ケース2に対する「物の見方」が変わります。

＞1/2mv^2 = mgh
＞と求められますが、右辺は位置エネルギーとも見えますが、重力のした仕事で、重力のした仕事が運動エネルギーに変わっ＞たとなり・・・

　これは正しいのですけど、別の解釈が出来るようになります。物体はもともとＦ＝－mgの重力場の中にいたのだから、物体はもともと高さhで、mghの位置エネルギーを持っていたのだと。結果解釈としてどうでも良いように見えますが、じつは大きな違いがあります。

　　・重力によって仕事をされても、物体の力学的エネルギーが増える訳ではない．　　　(2)

という重大な結論です。ここから得られる結果は、mghは、やはり手の平が与えたという当然の結果なのですが、それが「力学的エネルギー保存則を認める」事によって、「無限にゆっくり持ち上げる過程」を考えなくても、もしくは一回でも考えておけば、以降は論理的にすっきり扱える、という事態になります。だからこの話は、「力学的エネルギー保存則を認める」かどうか、という話に直結します。

　ちなみに位置エネルギーmghは、物体が持つのか？、物体を引っぱる地球が持つのか？という微妙な話があり、ニュートン力学の範囲内では、数学的には決着が着きません。それを物体に帰した先人達の目の良さは、すごいと思います。


　たぶん(2)は、あなたにとって新しい視点だと思います。その辺りをちょっと考察してみて下さい。自分も同じような疑問を持った事がありますが、ここで述べたような経緯で、物体が位置エネルギーmghを持つ事を納得しました。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2012/03/25 23:55

No.4 回答者： maxwell001 回答日時： 2012/03/19 23:31

（ケース１）について、

おっしゃるとおり、質量mの物体をh持ち上げるとき、重力は-mghの仕事をします。
しかし、位置エネルギーはこの-mghのことを言うのではありません。

位置エネルギーとは、高さhにある物体が「これから」でき得る仕事量を表すのです。
つまり高さhにある物体は、これから落下するまでの間に、重力によってmghだけの仕事をします。
このように物体がmghの仕事をする能力を持つとき、位置エネルギーがmghであると言えます。

物体が地表まで落下した場合「最初mghであった位置エネルギーが減少して０になった」と言い表してもいいでしょうし、「重力がmghの仕事をした」と言い表してもいいでしょう。しかし、重要なことはこの２つは同じ事を別の表現で表しているだけだということです。
重力がした仕事を考える「代わりに」位置エネルギーは導入されます。
位置エネルギーの減少量を考えるのなら重力の仕事を考えてはいけませんし、重力のした仕事を考えるのなら、位置エネルギーの減少量を考えてはいけません。


地表にあった物体をＦの力でゆっくり高さｈに持ち上げる場合はＦのした仕事のみを考え、Ｆが仕事をした結果、位置エネルギーを得た、と考えなければいけません。重力がした仕事を同じ式の中に入れてはいけません。

また同じ理由で（ケース２）について、２通りの考え方ができます。
重力のした仕事を考えるのなら（位置エネルギーを考えない）
（初めの運動エネルギー）＋（重力がした仕事）＝（その後の運動エネルギー）
０＋mgh＝1/2mv^2
位置エネルギーで考えるのなら（重力のした仕事を考えない）
（初めのエネルギー(位置＋運動)）＝（その後のエネルギー(位置＋運動)）
mgh＋０＝０＋1/2mv２

以上の文中では位置エネルギーをすべて「重力による位置エネルギー」の意味として使っていますが、位置エネルギーは物理のいろいろな場面で登場する大変便利な概念です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/25 23:55

No.3 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/03/19 20:23

　まず、重力加速度gという環境で、質量mの物体を高さhまで持って行くときですが、仮にその移動での加速度を無視できるとします（考慮しても同じ結果になりますが単純化します）。

　これはmgの力でhを移動させるわけですから、物理学的な仕事＝力×距離、つまり要したエネルギーの大きさはmghです。

　何がこの物体に仕事をしたかは設定されていませんが、物体にエネルギーを費やしたのですから、物体を持ち上げる仕事をしたほうから言えば、エネルギー消費です。無駄が何も無ければ、mghを使ったわけです。つまり、持ち上げた後の収支としては－mghです。

　これと物体が持った位置エネルギーmghも併せた収支は、mgh－mgh＝0となり、力学的エネルギーは保存されています。

　次に、そこから落とした場合を考えます。

　１．物体の高さがhのとき、静かに支えているとして、速さ0とします。
　２．物体を支えるのを止めると、自由落下を始めます。空気抵抗がないと仮定して、高さがH（0＜H＜h）になったとき、速度がVになるとします。
　３．h＝0で地上にぶつかって止まる直前の速さをvとすると、このとき、位置エネルギーが全て運動エネルギーに変わっています。

　これを１～３の順で等式に表すと（^2は2乗の意味）、

　mgh＋(1/2)m・0^2＝mgH＋(1/2)mV^2＝mg・0＋(1/2)mv^2

となります。物体を落とす前、落ちて行く途中、落ち切る寸前まで、このように力学的エネルギー（位置エネルギー＋運動エネルギー）が保存されます。

　お示しの、「1/2mv^2 = mgh」というのは、左辺が位置エネルギーを全て失って落ち切る寸前の運動エネルギー、右辺が落ちる前のまだ運動エネルギーがゼロのときの位置エネルギーを示したものになっています。
　二つの力学的エネルギーのどちらかがゼロの状態なので、０になる項を省略できるので、それを書いてない式ということになります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
勉強になりました。

お礼日時：2012/03/25 23:54

No.2 回答者： Quarks 回答日時： 2012/03/19 16:28

あまり難しく考えないようにしましょう、単純なことなのですから。

　
いま、位置エネルギー（以下Ｕ）として、重力による位置エネルギーだけを考えましょう。
Ｕを増加させる
＝高い所に移動させる
＝重力に逆らって仕事をしなければならない
＝重力は負の仕事をする
ということです。つまり
Ｕが増加（減少）するときには、重力が負（正）の仕事をするわけです。
　
重力（という保存力）が正（負）の仕事をすると、重力による位置エネルギーは減少（増加）するのだということだけのことです。


以下はおまけです。

物体に、合力Ｆが働いて仕事Ｗをしたとき、このＷの分だけ、物体の運動エネルギー（Ｋ）が増加します※。Ｋの増加分をΔＫとすると
ΔＫ＝Ｗ
です。

※これは、ニュ－トンの運動方程式を、積分することによって、例外なく成り立つことが示されます。

ところで、合力Ｆを、保存力Ｆ'と、非保存力Ｆ"に分けて見ましょう。
Ｆ'の仕事をＷ'、Ｆ"の仕事をＷ"とします。
先の議論を、(重力に限定せずに)保存力がした仕事Ｗ'と位置エネルギーの変化ΔＵとの関係としてみますと、
Ｗ’=－ΔＵ
でした。

仕事はスカラー量ですから　
Ｗ＝Ｗ'＋Ｗ"
が成り立ちます。ΔＫ＝Ｗでしたから
ΔＫ＝－ΔＵ＋Ｗ"
となります。
変形すると
Ｗ"=ΔＫ＋ΔＵ
右辺は、Ｋ，Ｕの合計（つまり力学的エネルギー）の変化と見なせますから
「非保存力が仕事をすると、その仕事の分だけ物体の力学的エネルギーは変化する。」
という関係を表していることになります。
特殊な場合として、Ｗ"=0ならば
Δ（力学的エネルギー）＝０
つまり、力学的エネルギーは保存されることになります。
ΔＫ＋ΔＵ＝０
あるいは
ΔＫ＝－ΔＵ
ですね。
保存力だけが仕事をするとき、力学的エネルギーは保存され、運動エネルギーが増加（減少）すると、その分だけ位置エネルギーが減少（増加）する、というお馴染みのお話になるわけです。

この回答へのお礼

勉強なりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/25 23:54