1/√1+1/√2+…+1/√n-2√nの極限

0<p<1とします。
lim[n→∞]{Σ[k=1、n])1/k^p - n^(1-p) / (1-p)　}
の極限値について知られてることはあるのでしょうか。

例えば、p=1/2とすると、
lim[n→∞]{Σ[k=1、n])1/√k - 2√n}
の極限値について知られてることはあるのでしょうか。

p=1のときに相当する式は、
lim[n→∞]{Σ[k=1、n])1/k - log(n)}
で、オイラーの定数γです。

No.1 回答者： muturajcp 回答日時： 2012/03/23 15:44

0<p<1

0<k<x≦k+1のとき
k^p<x^p≦(k+1)^p
1/(k+1)^p≦1/x^p<1/k^p
1/(k+1)^p<∫_{k～k+1}(1/x^p)dx<1/k^p

∫_{1～n+1}(1/x^p)dx<Σ_{k=1～n}(1/k^p)<1+∫_{1～n}(1/x^p)dx
[x^{1-p}/(1-p)]_{1～n+1}<Σ_{k=1～n}(1/k^p)<1+[x^{1-p}/(1-p)]_{1～n}
[{(n+1)^{1-p}}-1]/(1-p)<Σ_{k=1～n}(1/k^p)<1+{n^{1-p}/(1-p)}-1/(1-p)
{(n+1)^{1-p}-n^(1-p)-1}/(1-p)<Σ_{k=1～n}(1/k^p)-[{n^(1-p)}/(1-p)]<-p/(1-p)

p=1/2のとき
2{√(n+1)-(√n)-1}<Σ_{k=1～n}(1/√k)-2√n<-1
-2<{2/(√(n+1)+√n)}-2<Σ_{k=1～n}(1/√k)-2√n<-1
a_n=Σ_{k=1～n}(1/√k)-2√n
とすると
-2<a_n<-1
だから{a_n}_{n∈N=(全自然数)}は有界

a_1=-1
a_{n+1}-a_n={1/√(n+1)}+2√n-2√(n+1)
=(2√{n(n+1)}-2n-1)/√(n+1)
=(4{n(n+1)}-(2n+1)^2)/{(2n+1+2√{n(n+1)})√(n+1)}
=-1/{(2n+1)√(n+1)+2(n+1)√n}<0
-2<a_{n+1}<a_n
だから{a_n}_{n∈N}は単調減少で下に有界だから収束する
-2<lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}(1/√k)-2√n<-1