中学入試で出てくる（？）算数の質問

私は、中学2年生です。
１～１００まですべて足そうと思ったら、１+2+3+4+5+6・・・
という方法のほかに、もっと簡単で、すぐに解けるやり方はありますか？
小学6年生の時、このような問題をやったのですが、思い出せません。。。
誰か教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： DJ-Potato 回答日時： 2012/03/26 17:23

1+2+3+4+・・・+97+98+99+100

=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+・・・+(50+51)
=101×50
=5050

そのうち、１からnまでの自然数を全部足したらn×(n+1)÷２、という公式が出てきます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
なんとなく思い出しました。
これからもこの公式で当てはめてやってみます。

お礼日時：2012/03/26 20:29

No.6 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/03/27 17:41

　ETVで秋山仁さんが解説してました。

　まずご質問であり既に回答があるのが「三角数」というそうです。

　 ●○○○○－
　●●○○○　↑
●●●○○　 ↓4
●●●●○　　－
｜←→｜
　4＋1
　このように、もう一つ作って引っくり返して並べて、平行四辺形の面積的、その半分と考えればいいようですね（まあ三角形の面積ですが^^;）。
　すると、4×(4＋1)÷2＝10。
　1～nまでですと、n(n＋1)/2となるのもうなづけます。

　番組では、これから進んで「四角数」の紹介もありました。奇数の和です。
　1＝1＝1^2, 1＋3＝4＝2^2, 1＋3＋5＝9＝3^2, 1＋3＋5＋7＝16＝4^2, ……

○●△▲
●●△▲　→このように、○、●、△、▲と2乗になって行く。
△△△▲
▲▲▲▲

　n個の奇数ですと、1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n^2となります。

　さらに「ピタゴラス数」の紹介もありました。
　直角三角形の斜辺が5、他の2辺が4、3の直角三角形は、辺の長さの関係が4^2＋3^2＝5^2となる、よく出題される三角形ですね。この関係を満たすのがピタゴラス数です。
　i^2＋j^2＝k^2となる自然数を探すのは大変そうです。
　しかし、上記の四角数を使うと、効率よくピタゴラス数が探せます。
　i^2、j^2、k^2は四角数ですから、四角数＋四角数＝四角数になるものを探せばいいということになります。

　上記の○、●、△、▲の並びを見れば分かるように、2辺を占めるものが自然数の2乗になればいいということになります。
　なぜなら、その一つ内側は自然数の2乗の数で、もちろん全ての和も自然数の2乗になるのが四角数です。
　そうして探して、12^2＋5^2＝13^2などが紹介されていました。

　さらに、3乗の数の立方数と2乗の数である平方数（四角数）との関係も示されていました。
　1^3＋2^3＝3^2, 1^3＋2^3＋3^3＝6^2, 1^3＋2^3＋3^3＋4^3＝10^2, ……

○●●△△△▲▲▲▲
●●●△△△▲▲▲▲
●●●△△△▲▲▲▲
△△△△△△▲▲▲▲
△△△△△△▲▲▲▲
△△△△△△▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

　3乗の項は立方体になりますが、なんとか平面に展開して図示すると、こうなります。
　ここでさらに続くところが怖いくらいでした。

　一番上の辺の長さを○、●、△、▲の数で表せば、1＋2＋3＋4（＝10）と三角数です。
　上図は一辺がその長さの正方形です。○、●、△、▲の数は自然数の3乗でした。
　ですから、1^3＋2^3＋3^3＋4^3＝(1＋2＋3＋4)＾2だということになります。
　1～nなら、1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋…＋n^2＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)＾2となります。

　1から続く自然数それぞれを3乗して足したら、三角数の2乗になるわけで、しかも2乗は四角数でした。

　すると、自然数の3乗の和は、三角数の四角数というわけです。

　もうこうなると、「それ狙って自然数作ったんじゃないの？」と錯覚してしまいそうです。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございました。
とても参考になりました＾＾

お礼日時：2012/03/31 19:02

No.5 回答者： Turbo415 回答日時： 2012/03/26 18:11

すでに答えが出ていますから蛇足です。

これって、一個おきとか2個おきでも出来ますよ。
１＋３＋５＋７＋９だとすると10×５÷２＝２５です。

この回答へのお礼

そうですね。
2個置きでもできますね。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/26 20:36

No.4 回答者： 151A48 回答日時： 2012/03/26 17:33

1+2+3+・・・・・+99+100

100+99+98+・・・・・・+3+2+1

上下足すと　101×100
これは欲しいものの２倍だから2で割って　(101×100)/2=5050

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
次も、これでやってみます！

お礼日時：2012/03/26 20:35

No.3 回答者： noname#164279 回答日時： 2012/03/26 17:26

逆にして、足せばよいですよ。

S = 1 +2 +3 +...+99+100
S = 100+99+98+...+2 +1

この２つを足すと

2S= 101+101+...+101+101

2S= 101 × 100

よって

S = 5050

ガウスが幼少のころに思いついたと言われるやり方ですね。

この回答へのお礼

ガウス、懐かしいです。
思い出しました。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/26 20:32

No.1 回答者： suzy205 回答日時： 2012/03/26 17:21

大学受験生です。

解答しますねー＾＾

１＋２＋３＋・・・・・・９８＋９９＋１００

１＋１００＝１０１
２＋９９＝１０１
３＋９８＝１０１・・・であることに着目すれば簡単です。

このような式が５０個出来ます


１０１×５０より、答えは、５０５０です(*^^)v

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
これは、ガウスの計算ですか？
受験、頑張ってください！

お礼日時：2012/03/26 20:25