３乗は立方体の体積、４乗はなんだろう・・・。

おはようございます。

指数（？）についてなんだかもやもやしています。

Ｘが長さだとすれば、２乗は面積、３乗は体積、でも４乗は現実の何を指しているんだろう、と気になっています。

それから、指数法則とかで(X^2)^3はX^(2×3)だと思いますが、計算できてもそれが何をやってるのかよくわかりません・・・。数学は計算できることより意味が大事だと思うので考えてしまうのです。

たとえば(X^2)^3なら面積×面積×面積って何やってるんだろうとか。

この４乗以降の現実的な意味って何なのかご存知の方いらっしゃいませんか。

No.1 回答者： hayaneru 回答日時： 2012/03/30 10:31

指数は確率計算する時に１番多く使うと思います。

例えば、サイコロを振って１が５回連続で出る確率は(1/6)^5ですとかね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

指数をよく使う場面といえば、確率を計算する場面なのですね！！

そのときはX^4のXが長さではなくて、1/6という目に見えない（？）場合の数（？）みたいなものの4乗になるわけですか。

お礼日時：2012/03/30 13:12

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2012/03/30 10:46

Xが長さだとすれば、X^nは一辺Xのn次元超立方体の体積です。

が、これじゃ腑に落ちないでしょうね。
Xが長さではなく比であると思えば、3以上の指数もどうということはない。
タケノコが1本。
その倍の倍の倍の倍の倍といえば、1本×2×2×2×2×2 = 1本×(2^5)。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

n次元「超」立方体ですか。なんだかすごい名前ですね・・・。

じゃあ、０次元超立方体ってのもあって、x^0=1ってなるのでしょうか（汗）

０次元・・・。う～ん、ぴんときません。

それから、比ということで、なんだか銀行とかの利子計算の複利（？）みたいなのを思い出しました。

元本１００万円で利率が年１パーセントなら、

（１００万円×１．０１）^年数

のような。

お礼日時：2012/03/30 13:17

No.3 回答者： Mokuzo100nenn 回答日時： 2012/03/30 10:58

三次元空間の体積は長さの3乗ですが、4次元空間の体積は長さの4乗になります。

実は2次元空間（別名、平面）における体積（別名、面積）は長さの2乗で表現できます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

４次元空間の体積、これはもしやＮｏ．２さんのおっしゃる超立方体ですか。

どうもイメージを描けないのですが、４次元空間があったとしたら、x,y,z,a(?)のような４つの座標を紙の上に描いて立方体（変な形になるかもしれませんが）を描けるのかなぁと想像してしまいます(^_^;

描けたら面白いのですけど・・・。

X^4の立方体を「見たいです！！」

お礼日時：2012/03/30 13:20

No.4 回答者： mide 回答日時： 2012/03/30 14:28

Xが1ビット，つまり2通りのものを表せるとすれば4ビットで表せるものの数は2^4=16，これは要素が4個の集合の部分集合の数でもあります。

十進数4桁なら10^4=10000通りの数が表せます。

他には，年率8%で1年複利なら1.08^4=1.36048896とか。

指数はいろいろな用途がありますね。

ただ，数学の式や計算を現実の物理的な意味に結び付けなくても記号操作と結果だけで納得できるようになる精神力というか頭の柔軟さも必要だと思います。私はそれがうまくできなくて数学が大の苦手になってしまったことがあるので。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

面白いことをおっしゃっていますね。

Xが1ビットだとすれば、4ビットで2^4=16通りあるので、16個、アルファベットや記号を対応させられます。ただ、その先の「要素が4個の部分集合の数になる」ということがよくわかりません。面白いそうなので知りたいのですけど（汗）

複利の計算、他の回答者様へのお礼で書いたのですが私の式は間違ってました・・・。

それから、数学と現実とのつながりのことばかり私は興味を持っていましたが、記号操作と結果で納得する柔軟性もあったほうが世渡り上手というか、数学の世界も上手に渡れるかもしれません。

回答者様もどちらかというと現実の物理的な意味に結び付けたい方なのですか。そうだとすると、私の4乗を現実に対応づけられないもどかしい気持ちも伝わっているのでしょうね(^_^)

お礼日時：2012/03/30 15:10

No.5 回答者： hugen 回答日時： 2012/03/30 15:03

1年で給料が　X倍になるとすると

2年で　　X・X＝X^2 倍
3年で　　X・X・X＝X^3 倍
4年で　　X・X・X・X＝X^4 倍

この回答へのお礼

ありがとうございます。

指数は実社会の法則にもありそうですね。Ｘを長さと考えているから現実と結び付けられないのかもしれません。

(x^2)^3のような指数法則は現実にどういうところにあるんでしょうか。

お礼日時：2012/03/30 15:14

No.6 回答者： LHS07 回答日時： 2012/03/30 15:16

この世は３次元の世界ですからそれ以上の世界は数学上の架空の世界になります。

１次元はＸ座標です
２次元はＹ座標が増えます
３次元はＺ座標が増えます
上記をみると次元が増えると直角方向に座標が増えていきます

同様に
４次元はもう一つ座標が増えます。
Ｚ座標と直角方向に増えます
頭の中の架空の世界です。



(2^2)^3=4＾3＝64

2^(2x3)=2^6=64

この回答へのお礼

ありがとうございます。

３次元以上の世界が架空、とは限らない気がしてしまうのです・・・。

４次元になるとＺ座標と直角方向に軸が増えるというのはとても参考になりました^^

お礼日時：2012/03/30 23:18

No.7 回答者： mide 回答日時： 2012/03/30 17:27

要素が4つの集合 {a,b,c,d} の部分集合を数え上げると ∅,{a},...,{a,b},...{a,b,c,d} の16個になります。

これは各要素について，その部分集合に 含まれる・含まれない という2択なので 2^4=16 と計算できます。一般には 2^要素の数 です。

はい，私も高校のころまで数学の式や計算をいつも物理的な実体に結び付けて理解しようとしていたので，その気持ちはよく分かります。特に物理には対応するものが多く，結びつけることで理解しやすいことも多いですからね。でもそういう結びつけがなくても数学を扱えないといけないということは後で分かりました。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

集合のお話、理解できました。部分集合を数えるときは、ある、なしの２択だから２について累乗していくのですね。

それから、やはり、数学を実態と結びつけるという点では物理と対応させたくなりますよね！！　私もそうなのです。

でも、mideさんはその後、結びつけがなくても数学を扱えないといけないと分かったとのこと。私はまだmideさんの高校のころくらいの数学的発達段階にいるのだなと思いました(^_^;

お礼日時：2012/03/30 23:25

No.8 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/03/30 18:03

４乗は４次元の立方体の体積です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

たぶん、前の方が教えてくださった４次元超立方体というものの体積ですよね。

座標がx,y,z軸とさらにz軸の直角方向にあるもうひとつの軸の４点にあるような。

お礼日時：2012/03/30 23:29

No.9 回答者： noname#171582 回答日時： 2012/03/30 18:14

５乗は５次元の立方体の体積です。

６乗は６次元の立方体の体積です。
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ｎ乗はｎ次元の立方体の体積です。
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∞乗は∞次元の立方体の体積です。


　　

この回答へのお礼

ありがとうございます。

それを聞きますと、やはり４乗以降は実態とは結びついていない架空の世界に行ってるんだな、と思いました。

数学は架空の世界で計算だけルールに従ってやらなきゃいけないんだとちょっとさみしくなります。

お礼日時：2012/03/30 23:30

No.10 回答者： hugen 回答日時： 2012/03/30 20:25

2年で区切って考えると

2年×３=6年　では、
(X・X)^3 = (X^2)^3 = X^6　倍

この回答へのお礼

ありがとうございます。

(x^2)^3のような指数法則の現実との接点は、

１年単位で預金の利率が設定されていることを前提として、それを２年単位ずつ計算した場合ということですね。

元本を１００万円、年利を５パーセントとした複利で６年間預けるとすると

100×(1.05)^6　　←１年単位で考えた場合

100×(1.05^2)^3　　←２年単位で考えた場合

ということだと理解しました。かなり納得です。指数法則が現実問題とくっつきました！！

お礼日時：2012/03/30 23:38