grad(A・B)について

grad(A・B)の覚え方、簡単な導出はありませんか。

No.3 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/05/02 10:00

　簡単な導出はたぶんありませんが、見当なら付けれます。

ポイントになる事項は3つです。以下で微分と言ったら、微分係数の事です。

　　(1)スカラーφの微分は、ベクトル　∇φ　と納得できる事。

　　(2)ベクトルＡの微分は、行列　(∇Ａ)　と納得できる事。(∇Ａ)は、ベクトルＡのヤコビ行列。

　　(3)内積A・Bには線形性（分配則）があるので、積の微分公式が有効と納得できる事。

　(3)より、

　　∇(A・B)＝［ベクトルＡの微分］・Ｂ＋Ａ・［ベクトルＢの微分］　　　　(4)

のようになるはず。(4)の左辺は、スカラーA・Bの微分なので、(1)よりベクトル。右辺には(2)より、行列とベクトルの積が現れる。行列とベクトルの積からベクトルを作ると言ったら、

　　∇(A・B)＝(∇Ａ)Ｂ＋(∇Ｂ)Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)

くらいしかない。でも(5)はあくまで、予想（見当）。そこで成分計算に持ち込み、検算する（Σは、添字　ｉ＝1～3　に関するもの）。

　　Σ∂(Ａ[ｉ]・Ｂ[ｉ])/∂x[k]＝Σ∂Ａ[ｉ]/∂x[k]・Ｂ[ｉ]＋Σ∂Ｂ[ｉ]/∂x[k]・Ａ[ｉ]　　　(6)

　　※k＝1～3

から、

　　∇(A・B)＝(∇Ａ)^t　Ｂ＋(∇Ｂ)^t　Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)

とわかる。^t　は転置を表す。導出としては、(6)→(7)しか、たぶんない。でも(5)のように結果に見当を付けておくと、添字の整理は、相当に楽なはず。

［注意］
　ベクトルＡのヤコビ行列を　(∇Ａ)　と表すのは、この回答者が決めた勝手なルール。教科書では別の記号が使われてるはず。しかも何種類か、違った表現もあったと思う。それらは、成分を追跡して納得する事。結果に見当がついてれば、追跡も楽なはず。


［#1さんへ］
＞なんでも簡単に済ませようとおもわないこと！
＞ここで質問を上げている暇があるのなら、自分で探す努力をね。

　・・・もっともなんですが、ここに揚げた(1)～(3)のようなポイントは、余り本には載ってない気がするので、あえて書きました。駄目だったら、お叱りを下さい。

この回答へのお礼

∇a、∇bをそれぞれA,Bのみに作用する演算子として
B ×(∇a ×A ) ＝ ∇a(A ・B ) －(B ・∇a)A　
A ×(∇b ×B ) ＝ ∇b(A ・B ) －(A ・∇b )B　
の辺々を足して整理して間接的に導く方法が今まで見た中で一番簡単な気がしたのですが、少々技巧的なので、何かいいアイデアがあればと思って質問しました。ddtddtddtさんの考え方は初めて知ったので、勉強になりました。

お礼日時：2012/05/02 21:25

No.5 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/05/02 18:19

　#3です。

#4さんへ。


＞＃スカラー量に対して、ｇｒａｄ　はかからないからね。

　エッ？、そうなんですか？。ｇｒａｄientって、スカラー関数のためにあるように思えたんだけど・・・。

＞ベクトルの内積ではないはず。

　そうなんですか？。Inner　Purodactの積記号「・」が出てきたんで、内積と思いました。ベクトルを小文字ではなく、大文字ＡやＢで書くことも、工学系ではしばしばで・・・。ベクトル解析に関する典型的疑問と思ったのですが、安易すぎましたか？。行列の微分がテンソルになる事は、もちろん知ってます。

No.4 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/05/02 16:44

Ｎｏ．３　さんへ。

　Ｎｏ．１　です

いえいえ、恐れ多いです　ｍ（＿　＿）ｍ

σ(・・*)も講師でしたので、分からなかったら

教授に聞こうね～　って言うのが一番先かなぁ～　と思っていまして。

　＃実際に聴かれると、うれしかったりもしますしね＾＾；

こういうところで投げるのはもったいない気もするんですよね。

それだけのことです　ｍ（＿　＿）ｍ


で、ぱっと見た瞬間に、　ｇｒａｄ　の記号が見えるから　ベクトルだよな！

って言うのは分かるんです。

その後が、（Ａ・Ｂ）こうなっているのがちょっと気になるね。

　＃スカラー量に対して、ｇｒａｄ　はかからないからね。ベクトルの内積ではないはず。

ここまでは瞬間。

これが見えないんだったら、意味が理解できていないから、教官に聴こうね。

これが分からないのなら自分でやるなんて無理。

厳しいかもしれないけど、そういう内容だよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/01 09:25

その式を見て、高校で習った「積の微分法」を

思い出せるだけのカンを養うこと。

No.1 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/04/30 21:43

王道はありません。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

なんでも簡単に済ませようとおもわないこと！

ここで質問を上げている暇があるのなら、自分で探す努力をね。

元代数学の非常勤講師・電気工学上がりでした。