A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
No.4 です。
誤り発見!誤: g = det(G) = g11・g11 - g12・g21 = r^2(a+b・cos(t))^2
正: g = det(G) = g11・g22 - g12・g21 = r^2(a+b・cos(t))^2
No.4
- 回答日時:
>r(t,θ)=((a+bcost,(a+bcosint)sinθ,bsint)
うーん r(t, θ) = ((a+b・cos(t))cosθ, ((a+b・cos(t))sinθ, b・sin(t) ですよね
で、計量を求めると
∂r/∂t = (-b・sin(t)cosθ, -b・sin(t)・sinθ, b・cos(t))
∂r/∂θ= ((a+b・cos(t))(-sinθ), (a+b・cos(t))cosθ, 0)
なので、
g11 = ∂r/∂t・∂r/∂t = b^2
g12 = ∂r/∂t・∂r/∂θ= g21 = 0
g22 = ∂r/∂θ・∂r/∂θ = (a+b・cos(t))^2
これを計量テンソル G とすると
g = det(G) = g11・g11 - g12・g21 = r^2(a+b・cos(t))^2
√(g) = r(a+b・cos(t))
計量から面積を求めるには
面積 S = ∬√(g)dtdθ(積分範囲 t=-π~π, θ=0~2π) = 4π^2ab
これが微分幾何による解です。わかるようにトーラスに限らない、
一般的な解法です。回転体ならだいたい同じ形で解けます。
球面などでも遊んでみることをお薦めします(^^;
No.3
- 回答日時:
(u,v)=(1,0) の u,v が、常螺旋面を
(u cos v, u sin v, av+b) と媒介変数表示
した際の u,v だというのであれば、
それで、問題は確定します。
p = (u cos v, u sin v, av+b) と置けば、
外積 (∂p/∂u)×(∂p/∂v) が p に於ける曲面の
法線ベクトルを表すので、
p での接平面上の点 x は、内積を用いて
((∂p/∂u)×(∂p/∂v))・(x-p) = 0 と表されます。
式を整理して、(u,v)=(1,0) を代入すればオシマイ。
計算は御自分でどうぞ。
No.2
- 回答日時:
>(2)回転トーラスの表面積を求めよ
何がわからないのでしょう?
トーラス面を表す式が作れないとか?
計量が作れないとか、
計量から面積を求める公式がわからないとか?
もう少し具体的に。
この回答への補足
関連項目には、a>b>0として、xz平面上の円C:(x-a)^2+z^2=b^2を考えた時、Cを母線とする回転面(回転トーラス)はドーナツ型の曲面である。
Cはx=a+bcos,y=bsintとパラメータ表示されるので回転トーラスはr(t,θ)=((a+bcost,(a+bcosint)sinθ,bsint)で与えらる、
と記述があります。以上を踏まえて、
(1)これは一般式ではないのでしょうか?
(2)パラメータ表示の方法と、公式の使い方が分からないので説明お願いします
No.1
- 回答日時:
質問のしかたが気になるので、補足要求:
(u,v)=(1,0) という記述は、三次元空間中の一点を指定しているようには見えない。
螺旋面の媒介変数表示を意図しているのであれば、どのように媒介変数表示したか
を説明しなければ、接点の場所が読む者に伝わらない。
トーラスの表面積がひとつの値に定まるためには、指定しなければならない項目が
いくつかあるはずだ。それが何か分かっているのだろうか?
この回答への補足
参考書の関連項には定数a、bに対して、r(u,v)=(ucosv,usin,av+b)で常螺旋面は与えられる、と書かれているのですがこれで補足になっているでしょうか?
補足日時:2012/06/05 07:24お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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