線形代数の問題です

Question

線形代数で次のような問題があったのですが教えていただきたいです。1

n次正方行列Aに対し、次の3条件が同値であることを示せ。
○+は直和とする。

(1) R^n = ImA ○+ KerA
(2) ImA ∩ KerA = {0}
(3) Ker(A^2) = KerA

(1)⇒(2)
を示すときに、直和なので(2)は定義どおりのような気もするのですがこれは違うのでしょうか？

そうすれば
(2)⇒(1)
を示すのは次元定理を使ってやればいいのかと考え、
あとは
(2)⇔(3)を示そうかなと考えましたが…

何かしらのヒント、もしくは回答よろしくお願いします。

B-juggler · Accepted Answer

ほら、違うじゃない・・・。

～～～引用開始

Aはm×n行列、xはn次ベクトル
としたとき、
KerA = { x∈R^n | Ax=0 }
ImA = { Ax∈R^m | x∈R^n }

これが通常使っているとB-jugglerさんが言われているものならこのことです。
いまはAはn次正方行列ですが...

～～～～引用終了。

Ｉｍ　Ａ　って、イマジナリーパートのＩｍだと思った。

こういうのが書いてないから、σ(・・*)の回答はおかしいでしょう？

Ｉｍ　を虚数部　と見ていたから、Ｃ＾ｎではなく？　と聞いたわけね。

ちゃんと整理しないとこうなる・・。

みんなに分からないとダメだよ？　こういう勘違いを生んじゃダメよ。

で、難しい証明は必要としないはずだけどね・・・。

（１）はそのまま。

よく見れば分かるけど、ＩｍＡ　は　対角化されてるね？

ＫｅｒＡ　は　０行列だから、直和はそのまま対角行列だね。

ここで対角行列が分かるから、（１）⇔（２）は　一目ね。

０行列と、体格化されている行列の共通な成分があるとしたら、

｛０｝以外にはないね。　＃空集合じゃないから気をつける！

（１）⇔（３）　が先だよ！

これも一目だ。ＫｅｒＡが　０行列と分かっているんだから、

（３）は必ず成立する。直和なんだから（１）も当然成立だね。

＃（３）⇒（１）が、ちょっとだけ厄介だけど、ＫｅｒＡが０行列だと気がつけば

＃一発だね。

（２）⇔（３）は　これで問題なしだよ。

（２）⇔（１）⇔（３）　がいえているんだから、

（２）⇔（３）　だけを証明する必要はない。

あってもそんなに難しくはないはずだよ。

（３）から、０行列というのが明らかなんだから

＃あるいは単位行列なんだけど。ＫｅｒＡの定義で０だ。

（２）との共通項は、「０」しかありえないね。

＃もしも、ＫｅｒＡが単位行列ならば、「０，１」になるはずだからね。

きちんと定義を示していないから、自分でもわかっていなかったんじゃないかと思って、

きちんと！と書いて、やってみると、やはりそうじゃない。

よく自分で理解もして、他人様が見て間違わないように、

書ける位になっていないと、こんな問題でつまづく。

＃これは簡単だよ？

なんでも人任せにしちゃだめだよ。まず理解しようとしてください。

大学なんだから、自分でお金払って勉強しているんだからね。

早く、ここまで登ってくることだよ。エスカレータやエレベータなんて

代数の山にはついてないよ！　自分の足で登っておいで。

見える景色が変わるから。それは補償できる。がんばれ～～～

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

B-juggler · Answer

元代数の非常勤です。

えっとね、少し言葉が足りないと思う。

質問されている問題の、定義がよく分からないから、

そこを補足して置いてくれると助かるかな？

Ｒ＾ｎ　は　何を意味してる？

Ｃ＾ｎ　ではなくて？　Ｉｍ　Ａ　　は　Ａの虚数部分と捉えていいんでしょう？

と、すると、　ｋｅｒ　Ａ　は　何を意味してる？

実数部？　だとすると、（３）は特殊な状態じゃないと成立しない。

こういうのは、分かるように書いてくれないと、こっちも答えようがないから。

すいませんがよろしくお願いします。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

自分は分かっているんだ！　だからみんな分かるんだ！　って言うのは

早合点だからね＞＜

reiman · Answer

（２）⇨（３）
kerA∋cとするとAc=0よりA^2c=0なのでkerA^2∋c
よってkerA^2⊃kerA
kerA^2∋cでc∉kerAとすると
A^2c=0
Ac≠0
であるが
imA∋AcでありA(Ac)=0よりkerA∋Ac
であるので（２）に反する
よってkerA∋cである
よってkerA⊃kerA^2
よってkerA=kerA^2
（３）⇨（２）
ImA∋cかつKerA∋cかつc≠0とすると
ImA∋cよりc=Abなるbが存在するが
両辺にAをかけてみると0=Ac=A^2bなので
kerA^2∋b
kerA=kerA^2なのでbはkerAの元となり矛盾
よってImA ∩ KerA={0}

reiman · Answer

寝る前で寝呆けてたみたいなので修正

（２）：ImA ∩ KerA={0}
（３）：kerA=kerA^2
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（２）⇨（３）
c∈kerAならばA^2c=A(Ac)=A0=0なのでc∈kerA^2
よってkerA^2⊃kerA
c∈kerA^2ならば
c∉kerAとするとA^2c=0かつAc≠0であるが
Ac∈imAでありA(Ac)=A^2c=0よりAc∈kerA
これはAc(≠0)がimAの元でありkerAの元であることを意味するので（２）に矛盾
よってc∈kerA^2ならばc∈kerAである
よってkerA⊃kerA^2
よってkerA=kerA^2
（３）⇨（２）
0≠c∈ImA ∩ kerAとすると
c∈kerAよりAc=0
c∈ImAより0≠c=Abなるbが存在するがb∉kerA
一方A^2b=A(Ab)=Ac=0なのでb∈kerA^2
これは（３）に矛盾

B-juggler · Answer

えっと、Ｎｏ．１です。

分からないから聞いているんだから。

ｋｅｒ　Ａ　って何よ？

普通と同じかどうかも書いてないから、聞いているんだから。

みんなが分かるように書かないとダメだって、書いたじゃない！

Ｎｏ．２，３さんの証明でいいよ、普通であれば。

Ｉｍ　Ａ　＝　「０行列」なんだから、もっと単純にいけるかもしれないけど。

通常使っているとおりです、ならそう書くようにしてね。

どうにもならないよ～。これじゃぁね。

＃σ(・・*)なら落とすよ。定義してないから。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

reiman · Answer

(1)⇔(2)
は先の方針で大丈夫でしょうか？>>>>>

質問のなかで証明はほとんど終わっている

B-juggler · Answer

うん、Ｎｏ６です。代数の元非常勤ね。

えっと、確かにつかみようがない。

微積は「方程式がでてくる」。幾何は「図形ででてくる」。

ところが線形代数や、代数自身、形が見えないことが多いね。

よく使う手なんだけど、実際に行列を書いてみる！

２×２　では簡単だから、３×３くらいでね。とりあえず、こういう行列なのか？

って書いてみる。

そういう作業を惜しまないでいると、頭の中だけで整理できるようになるよ＾＾；

最初はみんな分からない。これは当たり前のことだよ。

知ろうとすることが大事よ＾＾；

理解しやすいように、自分で書いてみたり、想像してみたり・・・エトセトラ＾＾；

つかめないからつかむ努力をするんだ～～。

雲はつかめないでしょう？　だから形や成分を分析するんだね。

代数もそうだよ。　「数の代わり」に何かを使う学問としての数学なんだから、

例えを作っているんだからね。

自分で作ってみればいいんですよ　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

３×３　で適当に行列作ってみる！（定義されている通りに）

これだと思うよ。イメージがわくから。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

線形代数の問題です

元代数の非常勤です。

（２）⇨（３）

寝る前で寝呆けてたみたいなので修正

えっと、Ｎｏ．１です。

(1)⇔(2)

ほら、違うじゃない・・・。

うん、Ｎｏ６です。

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