高階微分方程式の積分定数

例えばｘ＾２ｙ'''＝ｙ''＾２のような問題でｐ＝ｙ''と置き換え変数分離を用いると
∫（１/p^２）ｄｐ＝∫（１/x^２）ｄｘとなりますが、この式を展開するとなぜ積分定数がＣではなく１/Cの形で現れるのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/26 16:17

∫Ｃ１ｘ/x+C1ｄｘ は被積分関数を C1 + C1^2/(x+C1) とした方が簡単だとは思うが (部分積分してもいいけど), いずれにしても結果の

＝C1x-C1^2log|x+C1|+C2
はあってる (ただし途中は微妙におかしい).

あと最後の「この式を更に積分した場合、最終形にC1＾３＋C3という項が残り、これはC3一つでよいと思うのですがいかがでしょうか」はその項の残り方に依存するかもしれません. その参考書では最終的にどんな形になっているんでしょうか?

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/24 12:09

#1 の「気分」ってのは, 要するに

積分定数をどのように置いたら後が簡単になりそうか
ってこと.

「log|y|=kx+cがCe^kxになる」というのが典型的. つまり,
log |y| = kx+c
からは本来
y = ±(e^c)e^kx
という式が得られる. ところが c が定数なら ±(e^c) も当然定数で, それを改めて C とおけば
y = Ce^kx
になる. もちろんこの C としてどういう値が取れるかはまた別に考えなきゃならないんだけど (e^c という形だと 0 にできないので, 元の方程式を見て C=0 が許されるかどうかを判断する), 少なくとも「形として」は下の方が簡単でしょ?

この回答への補足

ということは例えば
∫Ｃ１ｘ/x+C1ｄｘ＝{Ｃ１ｘlog|x＋C1|}-C1∫log|x+C1|dx
＝Ｃ１ｘlog|x＋C1|　-C1{(x+C1)log(x+C1)-(x+C1)+c2}
＝C1x-C1^2log|x+C1|+C1^2+c2
＝C1x-C1^2log|x+C1|+C2
　　　　　　　　　　
と置き換えてもいいということですよね？参考書にもこう書かれています。
しかしその参考書では、この式を更に積分した場合、最終形にC1＾３＋C3という項が残り、これはC3一つでよいと思うのですがいかがでしょうか？

補足日時：2012/07/25 16:47

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/24 02:40

積分定数のおきかたはともかく, 最後まで計算してみた?

この回答への補足

はい、ｐ＝Ｃｘ／ｘ＋Ｃとなり、
ｙ’＝∫（Ｃｘ／ｘ＋Ｃ）ｄｘ＝Ｃ１ｘ－Ｃ１＾２ｌｏｇ（ｘ＋C１）＋C２でした。
加えて、log|y|=kx+cがCe^kxになるのに、-log|cosx|+cが１/Ccos^2x
になったりと積分定数について理解が浅いのかよくわかりません。

補足日時：2012/07/24 11:30

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/21 23:32

気分

この回答への補足

あの、よく分からないのですが・・・

補足日時：2012/07/23 22:26