回転体の側面積の求め方に興味が湧き、
積分による求積方法を知りました。
以下のウェブページがとても参考になったのですが、
http://21.xmbs.jp/shindou-294836-ch.php?guid=on
その中で疑問に思うこと(考えてもわからない…)があります。
どうして、側面積の微小変化としてdxを選んではいけないのでしょうか?
回転体の体積の微小変化にはdx(断面積×dx)を採用していいのに、
側面積ではds(断円周×ds)を採用しなければならない。
その違いはどこからくるのでしょうか?
微小変化を考える場合、dsはdxで近似していいような気がするのですが、
どこに考え方の落とし穴があるのか教えてください(*_*)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
>では「何に沿って積分するか?」はどうやって判断するのですか?
>例えば、体積は、xに沿ってもよく、側面積はxに沿ってはいけない、
>その判断基準は何なのでしょうか?
先の回答でも書いていましたが、
dxや ds自体を長さをもった量としてとらえればどうですか?
>逆の言い方をすれば、微小な厚みを表す量が dxであるということです。
>側面積は皮の幅×長さを足し合わせたものであり、皮の幅は曲線に沿ったものであるということです。
先にも例で上げていた直線:y= 2xを例に考えてみれば、
・体積は「輪切り」にして、その厚みが x軸に沿った dx
・側面積は「皮むき」にして、その幅が 直線に沿った ds
ということになるのですが、これでは弱いですか?^^;
お蔭さまで、回転体の体積・側面積について
積分での計算に自信が持てそうです。
しかし“何に沿って積分するのか”については、
まだ私には敷居が高いので、もっと積分について
勉強しないといけないと感じました。
ひとまず、このQAはクローズしたいと思います。
ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
こんばんわ。
ざっくりした言い方だと「何に沿って積分を実行するか」ということになります。
・体積の場合、dxは「微小な厚み」として与えられている量になります。
逆の言い方をすれば、微小な厚みを表す量が dxであるということです。
・側面積の場合、dsは「皮むきの皮の幅」として与えられている量になります。
これも上と同じように逆の言い方をすれば、
側面積は皮の幅×長さを足し合わせたものであり、皮の幅は曲線に沿ったものであるということです。
球の表面積については、以下の質問がありました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6484800.html
そして、
>微小変化を考える場合、dsはdxで近似していいような気がするのですが、
これはNGです。
微小な量であっても、その変化の仕方は関数によって変わります。
たとえば、直線:y= 2xを考えてみると、xの変化量:dxに対して、yの変化量は 2* dxとなります。
そして、直線に沿った変化量は √( dx^2+ (2* dx)^2 )= √5* dxとなります。
言葉では「微小」でも、中身は違うということです。
実は、置換積分の「置き換え」も同じ考え方になっています。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5903551.html
ありがとうございます。
なるほど、dsは、曲線の長さの積分計算そのものなのですね。
dsで近似するほうが、自然な感じがしてきました。
では「何に沿って積分するか?」はどうやって判断するのですか?
例えば、体積は、xに沿ってもよく、側面積はxに沿ってはいけない、
その判断基準は何なのでしょうか?
体積の場合は、リーマン積分の考え方で、
下から体積を抑える、上から体積を抑える、
そういった微小体積を考えますが、
側面積の場合には、dxで幅を考えても、
これは、下から側面積を抑えていることにはならないことはわかります。
側面積を下から、そして上から抑える方法はあるでしょうか?
それが、dsに沿うことに対応するのでしょうか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 ポテンシャルが有限で不連続の時、右側の波動関数をφ1(x)、左側をφ2(x)とする。境界条件の「波動 2 2023/06/04 13:53
- 数学 x軸をまたぐ場合について考えてます。 それぞれ体積、表面積の立式は合ってますか? y=b±√(a 2 2023/05/21 17:05
- 数学 グラフで囲まれた面積を求める問題で 区間a〜b(a<b)で定積分∫f(x)-g(x)dx=-aと負の 3 2023/02/08 23:05
- 数学 ベクトル解析 ガウスの定理 問題 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(0,0,0)を頂 7 2023/07/18 21:43
- ホラー・ミステリー ホラー映画、貞子DXについてです。 ①DXって微分、積分で出てくる微小のxにしか見えないです。 ②貞 1 2022/10/20 17:36
- 化学 高校化学 浸透圧の範囲で質問があります。「浸透圧が同じなら移動する水の量は同じ」ですか? 「京大化学 4 2022/06/19 14:11
- 物理学 誘導起電力について 誘導起電力Vはファラデーの法則より、φを回路を貫く磁束として、 V=-(dφ)/ 1 2023/03/01 05:13
- 物理学 波動方程式のようなもの 1 2023/05/13 07:23
- 数学 「f(x)とg(x)のグラフで囲まれた面積を求めよ」 という積分の面積を求める典型問題がありますが、 7 2023/06/09 01:16
- 高校 数学III 積分 数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが b=0の時どのように考えれ 4 2022/09/30 02:06
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
大,中,小3個のさいころを投げ...
-
1から9までの番号をつけた9枚の...
-
0.1は10パーセントなら1.0は何...
-
積2桁の自然数のうち、各位の数...
-
高校数学です。0は全ての整数...
-
数学Aです。大中小3個のさいこ...
-
高1です!次の問題を分かりやす...
-
大学の代数学の課題で困ってい...
-
正則行列×正則行列は正則になり...
-
72の約数はいくつあるか?
-
大小2つのサイコロを投げる時...
-
エクセルVBAで動的にコンボボッ...
-
周の長さは同じなのに面積が違...
-
転置行列 証明
-
数学についての質問です。(2つ...
-
数学A
-
任意の置換は互換の積で表され...
-
数学上での「展開」という意味...
-
任意の置換を互換の積で表すこ...
-
自然数Nをいくつかの自然数に分...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1から9までの番号をつけた9枚の...
-
周の長さは同じなのに面積が違...
-
0.1は10パーセントなら1.0は何...
-
大小2つのサイコロを投げる時...
-
高校数学です。0は全ての整数...
-
大,中,小3個のさいころを投げ...
-
数学I 下図の平行四辺形ABCDはA...
-
(1) x6条-64 因数分解したいん...
-
エナメル線の電流容量 教えて...
-
測量図で、周囲の長さを算出す...
-
数学Aです。大中小3個のさいこ...
-
行列の二項定理???
-
最大公約数や最小公倍数をだす...
-
40秒は何分?の計算式を教え...
-
デルタ関数について
-
積数計算になると思うのですが...
-
上三角行列同士をかけたときの...
-
数列1.2.3.....nにおいて、n≧2...
-
2数の積の最小、最大の数を出す...
-
高1です!次の問題を分かりやす...
おすすめ情報