No.8
- 回答日時:
ANo.6です。
追加の情報です。数式を使って解くと次にようになります。ngkdddjkkさんの解説は、この筋に沿ったものだと言えると思います。
問題で扱われているような正弦波の進行波は、一般に
y=A・sin{2π((t/T)∓(x/λ))+δ}
のように、媒質の変位yを、媒質のx座標と、時刻tの関数で表現できることがわかっています。
なお、sin関数とcos関数とは互いに平行移動したものなので、cos関数を使って
y=A・cos{2π((t/T)∓(x/λ))+σ}
のように表すこともできます(初期位相も違います)。
なお、2πは2×円周率のことですが、ここでは弧度法と呼ばれる方法で角度を表しています。π=180°と置き直せば、普通の60分法の角度で表せます。
上の式に出てくる文字は、Aが振幅,Tは周期,λは波長で、δやσは"初期位相"と呼ばれる角度です。複合∓は、x軸の正の方向に進む進行波なら-,負の向きに進む進行波なら+を表しています。
問題の波では、周期は明記されていません(以下では、周期はTと書くことにします)が、波長λ=12であることがわかります。また、図の状態がt=0の時の波形だとすると、関数をcos関数で書いたときには、σ=0になるようです。
実線の進行波は
y1=A・cos{2π((t/T)-(x/12))}
破線の進行波は
y2=-A・cos{2π((t/T)+(x/12))}
です。(t=0として、適当に、xの値を当てはめてみると、ちゃんと波形を表現していることがわかるはずです)
さて、観察できる波形は、これら2つの波を合成したものです。数学的には、y1+y2 を変位Yとする波です。
Y=y1+y2
=A・cos{2π((t/T)-(x/12))}-A・cos{2π((t/T)+(x/12))}
数学の三角関数の変形公式
cosθ-cosφ=2・sin((θ+φ)/2)・sin((θ-φ)/2
を使って
Y=2A・sin(2πt/T)・sin(πx/6)
と書くことができます(このような形式で表された波は定常波であることがわかっています)。
この式で、x=0,6,12,18… では、
sin(πx/6)部は、sin0°,sin180°,sin360°,sin540°… となり、いずれも0です。
つまり、x=6n(nは整数)では、tにかかわらず、Y=0なのです。つまり、いつ見てもY=0なのですから、これは、正に定常波の「節」の位置を表しています。
また、x=3,9,15… では、sin(πx/6)部は
sin90°,sin270°,sin450°,… となり、1,-1,1,… です。
これらの場所で、t=0,T/2,(3/2)T,… の瞬間には sin(2πt/T)=0 ですから Y=0 ですが
t=T/4,(3/4)T,(5/4)T,… の瞬間には sin(2πt/T)=1,-1、1… ですから
Y=2A,-2A,2A,…となっているはずです。つまり、x=3,9,15…の各点は、時刻によって、Y=-2A~0~2Aまでの値を取り得る点で、これは腹にほかなりません。
No.6
- 回答日時:
割り込み失礼します。
問題図の状態では、どのx座標の位置でも、2つの波の変位が互いに打ち消し合っていることは理解できているでしょうか?
たとえば、x=3では y1=0,y2=0 ですから Y=y1+y2=0
x=6では y1=-A,y2=A ですから Y=y1+y2=0
他のどの点でも、 y1=-y2 の関係になっているので、合成波形(観察される波形)は、x軸と一致しています。
これでは、どこが節でどこが腹なのか、判断できません。
こんな時の鉄則は、「ほんの少しだけ時間が経ったときの状態を考る」なのです。
ちょっとだけ時間が経過したときの状態図を、添付しました。
それぞれの波形を、右,左にちょっとだけズラした図を描く(考える)わけです。
この図を見ると、赤い波形(これが実際に観察される定常波です)から
x=0 の点は、先ほどと同じ Y=0 の状態ですから、 節 であることがわかります。
x=3 の点は、先ほどはY=0でしたが、この図ではY≠0 で、波形上では、最大の変位になっいることがわかります。多分、ここは 腹 です※。
※ 実際には、次のようにきちんと判断します。
もっと広い範囲を見ると、x=6 も「節」であることがわかるはずです。
つまり、
x=6・n(nは整数)
の地点が「節」の位置なのです。そして、隣り合った「節」間の中央には、「腹」があるはずですから、「腹」の座標は
x=6n+3(nは整数)
と書けるはずで、確かに、n=0の時の座標 x=3は腹になっているわけです。
ちなみに、定常波の、
隣り合った節-節間距離=隣り合った腹-腹間距離=6
で、波長λ=12 の半波長 になっていることが確かめられるはずです。
No.5
- 回答日時:
まあ、ωtを30°づつ変化させるということです。
おそらく、質問者様は高校生ですね。
この回答への補足
はい、高校生です
波は初見な上に私自信の理解力の無さが重なって質問ばかりになってしまってすみません
30゜動かすってどういうことですか?
また30゜なのは何故ですか?
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