教えてください

下記の問題なのですが

２点(2,4),(1,1)を通る直線のHesseの標準形を求めよ。

Hesse標準形がどういうものか解らずに解くことが出来ません。Hesse標準形とはどういうものなのか解る方教えて下さい。
できれば上記問題の解法も教えて下さい。
おねがいします。

No.2 ベストアンサー 回答者： waseda2003 回答日時： 2004/01/28 20:31

Hesseの標準形とは，直線の方程式を

x(cosθ)+y(sinθ)=r　（r>0）

の形に表したものです。つまり，右辺に原点からの距離がくるように表示したものです。 #1の回答で間違いはないのですが，通常は定数項を右辺にもってきます。

上記の問題の場合，まず２点(2，4)，(1，1)を通る直線の方程式をお好みの方法で

y=3x-2

と求めておいて，定数項が正となるように定数項を右辺に移項して

3x-y=2

最後に，（x，yの）係数ベクトル(3，-1)の大きさ√10で割って

(3/√10)x-(1/√10)y = 2/√10

とすれば，Hesseの標準形の完成です。

Hesseの標準形において，右辺の正の定数が原点からの距離を表すことは，「点と直線の距離公式」で確かめられます。また，両辺に r をかければ

(r*cosθ)x+(r*sinθ)y=r^2

となることからわかる通り，点(r*cosθ，r*sinθ)における円x^2+y^2=r^2を表しています。

ちなみに，「点と直線の距離公式」の正式名称は，（２次元の場合の）Hesseの公式といいます。

この回答へのお礼

なるほどです。とてもわかりやすい回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/02/01 19:30

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2004/01/28 19:56

Hesseの標準形とは、直線を ax+by+c=0 の形で表したとき、√(a^2+b^2)=1 かつ c<0 を満たすものです。

Hesseの標準形を考えずにとりあえず２点(2,4)(1,1)を通る直線の式を求めると
y-1 =(4-1)/(2-1)(x-1)
より 3x-y-2=0

ここで　√(a^2+b^2)=1　を満たすために
a=sinθ b=cosθ　と置ければよいわけです。
よって、rsinθ=3 rcosθ=-1　となる定数rを見つければ
(3/r)x-(1/r)y-(2/r) = 0
が答えになります。

この回答へのお礼

なるほど解りました。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/02/01 19:29