Σの計算

一般項と初項から第n項までの和Snを求める問題で

(1)1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,…
（２）3,33,333,333,…


どうやって求めるのか分かりません。
（１）の一般項は1＋2＋3＋…n


??

教えてください。
難しくて分かりません。

No.4 ベストアンサー 回答者： sakura_214 回答日時： 2004/01/29 03:39

一般項を求めるのにΣの計算が入ってくるので，さらにその和は？などと聞かれると，二重にΣの計算？？→そんなの無理無理・・・と最初は混乱してしまうかもしれませんが，実はそれほど悲惨なことにはなりません．というのは，Σの中が多少複雑な多項式になっても，

Σ(A＋B)＝ΣA＋ΣB
のように単項式ごとに１つ１つ分解することができるからで，結局，教科書に出てくるような公式
Σ[k=1,n]1＝n
Σ[k=1,n]k＝n(n+1)/2
Σ[k=1,n]k^2＝n(n+1)(2n+1)/6
Σ[k=1,n]c^k＝(c^(n+1)-1)/(c-1)　(c≠1)
などを知っていれば，あとは機械的に計算することができます．

（１）一般項a[n]は，
a[n]＝1+2+…+n＝Σ[k=1,n]k
＝n(n+1)/2
よって，その和S[n]は，
S[n]＝Σ[k=1,n]k(k+1)/2
＝(1/2){Σ[k=1,n]k^2＋Σ[k=1,n]k}
＝(1/2){n(n+1)(2n+1)/6＋n(n+1)/2}
＝(1/12)n(n+1){(2n+1)+3}
＝n(n+1)(n+2)/6

（２）一般項a[n]は，
a[n]＝3(1+10+10^2+…+10^(n-1))＝3Σ[k=1,n]10^(k-1)
＝3(10^n-1)/(10-1)＝(10^n-1)/3
よって，その和S[n]は，
S[n]＝Σ[k=1,n](10^k-1)/3
＝(1/3){Σ[k=1,n]10^k-Σ[k=1,n]1}
＝(1/3){(10^(n+1)-1)/(10-1)-n}
＝(10^(n+1)-3n-1)/27

この回答への補足

返事がおそくなってすいません。
（２）のSnの求め方がわかりません。
＝(1/3){Σ[k=1,n]10^k-Σ[k=1,n]1}
＝(1/3){(10^(n+1)-1)/(10-1)-n}
の部分が。

教えてもらうことはできますか？

補足日時：2004/01/31 14:27

No.5 回答者： ONEONE 回答日時： 2004/01/31 15:56

S[n]＝Σ[k=1,n](10^k-1)/3

とにもかくにも
Σ[k=1,n](10^k-1)
が求まればいいわけで、つまりは

Σ[k=1,n](10^k) - Σ[k=1,n](1)

ということです。
左の項はなんでしょう？
初項10, 公比10の等比数列の和です。
なので、10*(10^{n} - 1)/(10 - 1)＝(10^{n+1}-10)/9
右の項はnですね。
ゆえに
S[n] = (1/27)(10^{n+1}- 9n - 10)
S[1] = a[1]で確かめてみると、一致するからまああってるでしょ。

No.3 回答者： ONEONE 回答日時： 2004/01/28 23:19

(1)

図を描いてみる。
1　
1 2　　　　　　
1 2 3　　　　　　
1 2 3 4　　　　　　
・ ・ ・ ・ ・
・ ・ ・ ・ ・ ・　
1 2 3 4 5 ・ ・ n

Sn = 1*n + 2*(n-1) + 3*(n-2) +・・・ + n*1
　　= [k=1 to n] Σ k{n-(k-1)}


（２）階差数列
3, 33, 333, 3333・・・
　V　V　　V　　　V
　30 300　3000　　・・・

a[2]-a[1] = 30
a[3]-a[2] = 300
a[4]-a[3] = 3000
・ 　　・　　・
・　　 ・　　・
a[n]-a[n-1] = 3*10^(n-1)　　（＋
-----------------------------------
a[n]-a[1] = 30 + 300 + 3000 +・ ・ ・ ・ ・＋ 3*10^(n-1)　　←等比数列の和
(ただしn≧2)
n=1のときも成り立つかどうかを確認してください。

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/01/28 23:15

(1)

自然数のベキの和はベルヌーイ数によって表わすことができます。
　Σ[k=1～∞]k^p
= n^p + Σ[k=0～∞]Bk p!n^(p-k+1)/k!(p-k+1)!

No.1 回答者： lupinletrois 回答日時： 2004/01/28 23:07

ヒントだけ

(1)
一般項 k(k+1)/2
Σk = n(n+1)/2
Σk^2 = n(n+1)(2n+1)/6
(2)
　9,　99,　999,　9999, ・・・ 　 　 (2a)
　10, 100, 1000, 10000, ・・・ 　 　(2b)
(2b)の一般項は10^(k+1)