偏微分方程式 ラプラス方程式 ポアソン方程式

微分方程式で用いられる線形，非線形の意味がよくわかりません。
どのように区別されるのでしょうか？

また、ラプラス方程式は、一階の偏微分方程式の例でよくでてきて、
ポアソン方程式は、二階の偏微分方程式の例でよくでてきます。

ラプラス方程式，ポアソン方程式はどちらも線形なのでしょうか？

テキストや参考書にある解法に習えば、例題や練習問題は解けるのですが、
用語の意味がまるで理解できていません・・・

ご回答よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/11/28 17:03

#1のものです。

与えられた、微分方程式を見ただけでは線形なのか非線形
なのかわからないと言うことでしょうか？

そんなことはありません。見れば大体線形か非線形かの区別はつきます。
微分作用素で表される式をD(∂/∂x,∂/∂y)としたとき
D(∂/∂x,∂/∂y)Φ(x,y)=0
と変形できればまあ線形でしょう。(Dが線形作用素でなければなりませんが微分演算自体は線形性を持っているので線形になることがおおい)
右辺が"0"になること、左辺が全てΦの前にかかることが重要です。

たとえば物理学で出てくるシュレーディンガー方程式
Hψ(x,y,z)=Eψ(x,y,z)
H={-1/(2m)}Δ+V(x,y,z) E:定数
は
(H-E)ψ(x,y,z)=0
と変形できますのでこの方程式は線形です。
物理学で非線形の例としてよく挙げられるのがソリトンです。ソリトンの例としてよく挙げられるKdV方程式は
∂u/∂t+6u*∂u/∂x+∂^3u/∂x^3=0
となりますが、右辺は"0"ですが左辺はDuの形に変形することができません。そのためこの方程式は非線形だとわかります。
(∂Φ/∂x)^2とか、Φ*∂Φ/∂xのようにΦの含まれる式を掛け合わせたものが出てくると非線形と見てよいでしょう。

∇u(x,y,z)=x
についてですが、
∇^2u(x,y,z)=xの間違いでしょうか？
∇は「ナブラ」で後ろに関数が来て、一階の偏微分を行う微分演算子
ですよね？

間違いの修正ありがとうございます。ご指摘のとおりです。


2変数の場合、Φ(x，y)，f(ｘ，ｙ)として、
ラプラス方程式は、
ΔΦ(x，y)=0
ポアソン方程式は、
ΔΦ(x，y)=f(ｘ，ｙ)
と表されますが、
ラプラス方程式と、ポアソン方程式の違いは右辺だけだと理解しています。
右辺に、関数f(ｘ，ｙ)があるだけで、ポアソン方程式は線形でなくなって
しまうのでしょうか？

そうです。
実際に二つの解をΦ(x,y)=u(x,y),v(x,y)としたとして代入してみるとよいでしょう。

ラプラス方程式の場合
Δu(x,y)=0,Δv(x,y)=0ですので
Δ{a*u(x,y)+b*v(x,y)}=a*Δu(x,y)+bΔv(x,y)=a*0+b*0=0
となりますのでa*u(x,y)+b*v(x,y)もラプラス方程式の解になります。
ポアソン方程式の場合
Δu(x,y)=f(x,y),Δv(x,y)=fx,y)ですので
Δ{a*u(x,y)+b*v(x,y)}=a*Δu(x,y)+bΔv(x,y)=a*f(x,y)+b*f(x,y)=(a+b)*f(x,y)
となりますのでこれは与えられたポアソン方程式の解ではありません。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、
ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは
理解できました。ありがとうございます。

微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と
非線形微分方程式を以下に示します。

線形微分方程式
（1）y”+y’-2x＝0
（2）y’+xy=1
(3)(x-1)y''-xy'+y=0

非線形微分方程式
（1）（y”）^2+y’-2x=0
（2）x（y”’）^3+y’=3
(3)y・y’+xy=1

なんとなくですが、線形と非線形の理由もわかります。
上の線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか？

非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか？
y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか？

線形微分方程式（2）y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
でしょうか？

お手数をお掛けしますが、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/11/29 23:47

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/11/27 14:10

線形の微分方程式とは次のような性質を持ちます。

u(x,y,z)についての微分方程式の任意の2解をu(x,y,z)=f(x,y,z),u(x,y,z)=g(x,y,z)とするとその線形結合
u(x,y,z)=a*f(x,y,z)+b*g(x,y,z)
も必ずその微分方程式の解である。

ラプラス方程式は二階の線形偏微分方程式(一階ではありません)
∇u(x,y,z)=0
ですが、その二つの解をu(x,y,z)=f(x,y,z),g(x,y,z)とすると
u(x,y,z)=2f(x,y,z)や3f(x,y,z)-5g(x,y,z)などもすべてラプラス方程式の解になります。


ポアソン方程式は線形偏微分方程式ではありません。
例えば
∇u(x,y,z)=x
の二つの解をu(x,y,z)=f(x,y,z),g(x,y,z)とするとu(x,y,z)=2*f(x,y,z)やf(x,y,z)+g(x,y,z)はこの方程式の解にはなりません。(代入すればすぐにわかるでしょう)

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

理解できました。
解が線形結合で表さるかどうかで説明できるのですね。

与えられた、微分方程式を見ただけでは線形なのか非線形
なのかわからないと言うことでしょうか？
微分方程式をといて、初めてその微分方程式が線形なのか
非線形なのか判別出来るということでしょうか？

∇u(x,y,z)=x
についてですが、
∇^2u(x,y,z)=xの間違いでしょうか？
∇は「ナブラ」で後ろに関数が来て、一階の偏微分を行う微分演算子
ですよね？

2変数の場合、Φ(x，y)，f(ｘ，ｙ)として、
ラプラス方程式は、
ΔΦ(x，y)=0
ポアソン方程式は、
ΔΦ(x，y)=f(ｘ，ｙ)
と表されますが、
ラプラス方程式と、ポアソン方程式の違いは右辺だけだと理解しています。
右辺に、関数f(ｘ，ｙ)があるだけで、ポアソン方程式は線形でなくなって
しまうのでしょうか？

申し訳ありませんが、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2012/11/27 22:57