０の０乗について

Windowsの電卓を使う及びVisualBasicで０の０乗を求めると
１になってしまいますが、なぜですか？

No.6 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/05/22 13:11

siegmund です．

前にも書きましたように，
０の０乗は明確に定義されているわけではありませんから，
何をもって０の０乗とするのかという定義なしに
０の０乗の値を議論しても意味はありません．

2^0 = 1 にはどなたも疑念がないようですが，
もともとべき乗は自然数に対してのみ定義されたものですから，
何らかの拡張操作なしに０乗は意味がありません．
指数法則
(1)　　2^m / 2^n = 2^(m-n)
はもともと m>n であるような自然数 m,n に対してのみ意味があったはずですが，
この法則がもっと広い m,n に対して成り立つように
(2)　　2^0 = 1　　(m=n に相当)
(3)　　2^(-k) = 1/2^k (m<n に相当)
と拡張して定義したのです．
最初から０乗や負数乗が明確だったわけではありません．

同じように，
０の０乗もどういう拡張操作で定義するのかを明確にする必要があります．
一番素直そうな x^x (x→0)で定義したのが前の私の話です．
他の定義をもってくれば，他の値にすることも可能です．

この回答へのお礼

２度目の回答ありがとうございます。
別に０の０乗の値について議論したいわけではないのですが、
ただ、簡単に説明できる方法がわからなかったのです。
guiterさんの回答で過去にあったという事で
皆様には大変無駄な時間を割かさせる事になってしまった事を
大変申し訳ないと思っているのですが、
私的には、１ヶ月くらい前から悩んでいた事がすっきりして
大変有意義な時間を過ごせたと思います。
（自分勝手な話ですが．．．。）
siegmundさんの回答にもやっと理解できるようになりました。
やっぱり勉強はしないと頭が腐っていきますね。

>もともと m>n であるような自然数 m,n に対してのみ意味があったはず
なるほど。
その辺だけ中途半端に覚えていた為、
わけがわからなくなっていたんでしょうね。
ありがとうございました。

お礼日時：2001/05/22 14:06

No.5 回答者： guiter 回答日時： 2001/05/22 12:59

過去に同じような質問があったので参考にしてみて下さい。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=14755

この回答へのお礼

ありがとうございます＆もうしわけありません。
一応検索はしてみたのですが見つからなかったので、
質問させていただいたのです。
過去の同様の質問の回答の中に答えがありました。
２乗＝１×ｎ×ｎ
１乗＝１×ｎ
０乗＝１
これが一番分かりやすいですね。
これなら０の０乗が１っていうのも簡単に説明できます。
高校の頃にも教えてもらった気がします。
ありがとうございました。
（それにしても昔の記憶がなくなってく今日この頃です。）

お礼日時：2001/05/22 13:45

No.4 回答者： noname#1802 回答日時： 2001/05/22 11:54

３の２乗　＝　９

３の１乗　＝　３
３の０乗　＝　？
３のー１乗　＝　１／３
３のー２乗　＝　１／９

ですね。となると
下から上にいくとどんどん　×３していくことになります
上から下にいくとどんどん　÷３していくことになります

（１／３）×３　＝　１
（３）÷３　＝　１

よって　３の０乗は０です。　（＾＾）
０の０乗＝１の証明はわかりません。。
が数学的に問題ないのは確かです。

この回答へのお礼

そうなんですよ。
susumuさんが書いてくれた図が、まずは頭に出てきたんですよ。

３の２乗　＝　９
　↓÷３　　↑×３
３の１乗　＝　３
　↓÷３　　↑×３
３の０乗　＝　？ （１になるんですよね。）
　↓÷３　　↑×３
３の－１乗　＝　１／３
　↓÷３　　↑×３
３の－２乗　＝　１／９

って事ですよね。
それを３を０に置き換えると、

０の２乗　＝　０
　↓÷０　　↑×０
０の１乗　＝　０
　↓÷０　　↑×０
０の０乗　＝　？
　↓÷０　　↑×０
０の－１乗　＝　０
　↓÷０　　↑×０
０の－２乗　＝　０

上記の図で答えだけ考えると０の部分にはなんとなく１というよりは
０が入りそうですよね？
っていうよりもそれ以前の問題で０で割っているではないですか。
そっちの方が大問題ですよね。
０では割れないんだから。
実はこの問題を考えつく前になんで０で割れないのか
ずぅ～と考えていたのですが、
無限になってしまうからだと考えついたのです。（ほんとかな？）
そうすると０乗の値っていうのは１乗の値を１乗の値で割って求めると
習ったという記憶が出てきたので矛盾が生じてしまったんですよね。

最初の質問でそこまで書けばよかったのですが、
なんかよくありそうな問題だったので、わかってくれるかなと
甘えてしまいました。

結局、答えとしてはどうなんでしょう？
定理（証明）はあるのですか？ないのですか？

お礼日時：2001/05/22 12:46

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2001/05/22 11:37

Windowsの電卓やVisualBasicでそのように設定しているからでしょう．

これじゃ，多分納得しませんよね．

もともと０の０乗は定義があいまで，本来はきちんと定義する必要があります．
一番素直そうなのは
(1)　　lim (x→0) x^x
という極限値をもって０の０乗とすることでしょう．
(2)　　y = x^x
とおいて
(3)　　log y = x log x
で，x→0 としたときの(3)の右辺の極限値は０になります
(ロピタルの定理など使えばよい)．
したがって
(4)　　log y → 0　　(x→0)
となり
(5)　　y → 1　　(x→0)
です．

この回答へのお礼

このような数式まで書いていただいてありがとうございます。
基本的に数学は全教科の中で一番好きで点数も結構取れていたのですが、
高校の時limだのlogをやった時に私生活や、部活動で忙しかったため、
テストではそれなりに取ったのですが、全然覚えてないんですよね。
もっと簡単に教えて欲しいのですが、そういうもんじゃないってことなんですか？
例えば３の４乗であれば、３を４回かけるから、
３×３×３×３＝８１と言う事で小学生（２年生以上）でも
教える事ができますよね？
そこまで簡単でなくてもいいのですが、
図っぽいのがあれば分かりやすいのですが．．．。

お礼日時：2001/05/22 12:27

No.2 回答者： hero1000 回答日時： 2001/05/22 11:36

　整数であろうが、実数であろうが、全ての数値は０乗すると必ず

１になります。これは数学上の原則です。
　定理ではないので証明はできません。
　「どんな数値でも０を掛ければ０になる」というのと同列のもの
とお考え下さい。

　質問に対する回答としては「数学上の原則でそうなっているから」
という感じでしょうか。

この回答へのお礼

下らないネタに回答して下さってありがとうございます。
>「どんな数値でも０を掛ければ０になる」
これ自体は分かります。
例えば３×０＝０っていうのは算数的にいうと
３が０個ある（０個なのにあるっていうのも．．．）から０なんですよね。
ただ、０の０乗っていうのはそういうようなイメージがわかないんですよね。
累乗自体、少年時代（小学生）っていうより
青少年時代（中学、高校生）の頃に習ったものだから、
先生もそういう表現をしてくれなかったのだと思うのですが、
こうだからこうなってこうなんだよというよなものでもいいんでけど。
しかし、証明はできないんですか。
なんかいい例えがあればいいんですけどね。

お礼日時：2001/05/22 12:36

No.1 回答者： nagata 回答日時： 2001/05/22 11:28

数学的にも0の0乗は1です。

なんの問題もありません。

この回答へのお礼

早速ありがとうございます。
高校の時の授業でどの数値も０乗は１だと習ったのですが、
理解がしがたいのです。
なんで０の０乗まで１になってしまうのか数学的な理由が知りたいのです。
（できるだけ分かりやすく。）

お礼日時：2001/05/22 12:30