集合間演算に関する質問

分配法則

A∨(B∧C) =　(A∨B)∧(A∨C)
A∧(B∨C) =　(A∧B)∨(A∧C)

の証明をしたいんですけどどこに注目しながら証明を行えばよいのでしょうか？A∨(B∧C)⊆(A∨B)∧(A∨C)とA∨(B∧C)⊇(A∨B)∧(A∨C)の両方を成り立たせればよいのはわかるのですが・・・・

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/05/04 15:26

証明するには、演算 ∨ と ∧ の定義が必要です。

補足に、その定義をどうぞ。

この回答への補足

集合Ａ，Ｂ，Ｃがあって

∧：かつ

∨：または

です

※集合Ａ，Ｂ，Ｃには特に包含関係は記述されていません

足りますか？

補足日時：2008/05/04 15:59

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/05/05 18:59

それは、定義 というより、フリガナ という感じですね。

その「かつ」と「または」の意味は？

フリガナを振るにしても、集合演算ならば、
「交わり」と「結び」とか、
「共通部分」と「合併」とか、
「積」と「和」とか、
「キャップ」と「ユニオン」とか、何とか、
他に言いようがあるかと思います。
「かつ」と「または」では、まるで論理演算のようだし、
∧ と ∨ は、通常、論理演算に使う記号です。

集合演算の「共通部分」と「合併」は、普通は
∩ と ∪ で書きます。もっとも、これらを
∧ と ∨ で書く人もいるのですが …
その辺をわかって書いているのかどうか、
尋ねてみたかったのです。

私なら、集合演算 ∩ と ∪ を
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
で定義して、話を始めます。
ここで、∧ と ∨ の記号は、
論理演算「かつ」と「または」を表しています。

何を言っているか、通じたでしょうか？

この回答への補足

仰るように
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
です。

∧ ＝ ∩
∨ ＝ ∪

となり形は知がえど意味は論理演算の「かつ(共通集合)」、「または(合併)」です。

ややこしくてすみません。

補足日時：2008/05/05 23:09

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/05/06 01:26

＞　∧ ＝ ∩

＞　∨ ＝ ∪
＞　形はちがえど意味は論理演算の「かつ(共通集合)」、「または(合併)」です。

意味は伝わったようですが、気持ちは通じなかったようです。
集合演算と論理演算の区別、集合 Ａ と述語 x∈Ａ の区別が
大切だと語ったつもりでしたが。

こういった基礎的事項を考えるときは、定義がとても重要です。
定義を雰囲気で流してしまうと、何を基に何を証明したのか？
それは証明として成り立っているのか？ が不明瞭になってしまいます。

さて、気を取り直して本題ですが、
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
の証明には、概ね２通りの立場があると思います。

ひとつは、集合演算を代数系として公理的に定義してしまう立場。
要するに、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/logic/boo …
というようなことです。
そこでは、∩ と ∪ の分配法則 自体が公理のひとつですから、
証明は、やりようがないというか、「公理より自明」で終わりです。

もうひとつは、論理学の上に集合論を構成してみる立場。
No.2 に書いた
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
は、その一部です。
この場合、集合論に先立って、述語論理が既知でなければなりませんが、
述語論理の公理系に
P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
が公理として含まれていますから、
ここでも、証明は、P, Q, R に x∈A, x∈B, x∈C を当てはめるだけです。
あと、集合の一致 A=B の定義 (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B) を使うくらいかな。

この証明を見て、文字 P を文字 A に換えただけじゃん…と
思って欲しくないから、長々前フリをしたのです。
A は集合であり、P や x∈A は命題です。
意味の違うこれらのものが、共通の形式を持つことが、重要なのです。