A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
ちなみに
(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + ・・・・
(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + ・・・・
ってなるのはご承知?
#ただし,-1<x<1 だけど
これを組み合わせれば
(1-x)^{-2} = Σx^k Σx^k
とかできて,級数のコーシー積を頑張ればいいんだろうか
(1-x)^{-n}の場合,
最終的なx^k の係数は
kをn個の0以上の整数に分割する仕方になることがわかる
k=k1+k2+・・・+kn (k1,..,kn>=0,k1,...,knは整数)
となるn組(k1,k2,...,kn)の個数を求める
例:
k=3,n=2
(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)で4
k=3,n=3
(0,0,3)(0,3,0)(3,0,0) 3
(1,0,2)・・・・で3*2=6
(1,1,1) 1
合計 10
けど・・・下から順番に考えると
n=2の場合,一般項x^kの係数は
kを0以上の二つの整数にわける方法を考えて
|○|○|・・・|○| ←k個の「○」を(k+1)個の「|」で区切る
「|」をひとつ決めればそれがひとつの分割になる
よって(k+1)がx^kの係数になる
n=3の場合
Σ(r+1)x^r Σx^r = ΣA3(k)x^k
とかすると
A3(k)は・・・
A3(k) = Σ_{r=0}^k (r+1) = (1/2)(k+1)(k+2) = C(k+2,2) (2項係数)
n=4の場合
ΣA3(r)x^r Σx^r = ΣA4(k)x^k
A4(k) = Σ_{r=0}^k A3(r) A3(r)=C(r+2,2)
一般的にAn(k)がどうなるかは私は存じません
#というか・・・綺麗にかけないように思う.
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