位相についての質問（初歩）

何度もトライしては挫折している位相についてです。

例えば実数全体の集合をSとして、ここに位相を入れる（この言葉の使い方もあっているのか？）ことを考えます。

開集合系として
O={S, φ, [0, 1] }
という三つの元をもった集合族を考えたとします。

１）これはSの位相となっているか？
位相の定義からこの開集合系はSの位相となっていると思います。

２）この集合族の元について
Sの位相である開集合族Oの元を "開集合"という、などと教科書には書いてありますが、
もし上記のOか位相となっているとすると、その元 [0, 1]は "開集合"なのでしょうか？
[0, 1]は両端を含む閉集合のつもりなんですが、、、、

このあたりがどうにも判然としません（もちろん O が位相となっていなければ全然話になりませんが）。

ぜひこのモヤモヤを解消すべく何かヒントでもいただけたらと思います

No.1 ベストアンサー 回答者： funoe 回答日時： 2013/07/31 16:05

ヒントもなにも、とりあえず正しい理解をしているのではないですか？

1)位相になっている。
2)開集合である。


>[0, 1]は両端を含む閉集合のつもりなんですが
　それは、普通の位相（Ｒ上とかＱ上で開区間(a,b)を開集合とする）で[0,1]を見たときの話しでしょ。
　いまは、スペシャルな位相を考えているのだから、ビックリすることはないですよね。

「位相が違う」＝「開集合とはなんぞや、が違う」
　

この回答へのお礼

まずは回答をありがとうございました

正しい理解であるということでとりあえずは安心しました。

なるほど、普通の位相で見たとき[0,1]は閉集合だということですか。

位相の勉強が少し前に進みそうな気がしてきました。

ありがとうございました。

お礼日時：2013/07/31 17:08