エルミート演算子について

【A＾、Ｂ＾】＝ｉC＾

で、Ａ＾とＢ＾がエルミートのときにはＣ＾もエルミートになるのでしょうか？なぜだかわかりません。できれば証明でわかりやすいものはないでしょうか？おねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： KENZOU 回答日時： 2004/04/25 21:30

すでに答えがでていますので以下は蛇足の参考です。

演算子Ａ，Ｂがエルミートである条件はそれぞれのエルミート共役演算子をＡ^†，Ｂ^†とすると
　Ａ＝Ａ^†，Ｂ＝Ｂ^†　　(1)
　（ＡＢ）^†＝Ｂ^†Ａ^†　　(2)
が成り立つことですね。そこで正準交換関係
　[Ａ，Ｂ]＝iＣ　　(3)
の両辺の複素共役をとると，まず左辺は
　[Ａ，Ｂ]^†＝（ＡＢ）^†－（ＢＡ）^†
　　　　　　　＝Ｂ^†Ａ^†－Ａ^†Ｂ^†　・・・(2)を利用
　　　　　　　＝ＢＡ－ＡＢ　・・・(1)を利用　
　　　　　　　＝－（ＡＢ－ＢＡ）
　　　　　　　＝－[Ａ，Ｂ]
　　　　　　　＝－iＣ　　(4)
となります。次に右辺は
　（iＣ）^†＝－iＣ^†　　(5)
となる。今，両辺は等しいから－iＣ＝－iＣ^†が成り立ちます。つまりＣ＝Ｃ^†の関係が成り立ち，これはＣがエルミート演算子であることを表わしています。

No.2 回答者： seven_triton 回答日時： 2004/04/22 22:46

C=-i[A,B]なので，

C*=(-i[A,B])*=i{(AB)*-(BA)*}=i(B*A*-A*B*)=i(BA-AB)=-i[A,B}=C
と計算すればよいです。*は共役演算子を表します。＃１さんと記号の使い方が違っててすみません。

No.1 回答者： Rossana 回答日時： 2004/04/21 17:41

面倒なので，^は省略します．

以下*は共役複素数，†はエルミート共役演算子を表すものとします．
<φ|iC|ψ>*
＝<φ|([A, B]|ψ>*
＝<φ|AB－BA|ψ>*
＝<φ|AB|ψ>*－<φ|BA|ψ>*
＝<φ|B†A†|ψ>－<φ|A†B†|ψ>
＝<φ|BA|ψ>－<φ|AB|ψ>　（∵　A，Bはエルミート）
＝<φ|BA－AB|ψ>
＝<φ|－[A, B]|ψ>
＝<φ|－iC|ψ>

∴　(iC)†＝－iC, －iC†＝－iC
したがって，
C†＝Cとなる．すなわち，Cはエルミート演算子である．