分数の約分

先日小学4年の子供の算数の答えあわせをしていて物凄い違和感を感じました。
問題は14分の12＋14分の9=です。
答えを見ると14分の21(１と14分の7)とありました。
約分をしていないんですね。
自分の頃(30年近く前ですが…)は、分数と言えば必ず約分すると教わった気がするのですが、気のせいでしょうか？
それともいつかの時期で指導要領が変わったのでしょうか？
今現在は最大公約数・最小公倍数・素因数分解を習う小学6年で約分を教わるようです。

No.12 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/12/28 10:33

＞理系に進むと大概の式は分数の形で表現されますが、文系に進んだり日常生活ではお目にかかることは余りありませんから。

　確かに、しかしちょっと見渡すと、スリークウォーター(45分)とか、ハーフタイムとか・・英語のインチ表示を見ると、3/8 16山とか。。。分数だらけ( http://www.neji-no1.com/contents/06/file/index7. … )
　日本はソロバン文化圏ですから小数が馴染みが良いですが、小数の発明なんて、オランダのステヴィンの1585年ですから、4000年以上の歴史がある分数の足元にも及びません。

　日本のように分数が身近でない国では分数が苦手になるのはやむをえないかもしれません。そこで、段階を踏んで指導している。
　2年生で簡単な分数、3年生で分数とは分母(1/a)を最小単位とした個数、4年生で真分数　仮分数　帯分数の言葉と、同分母の分数の加法及び減法の計算、5年生で約分や通分を割合と共に学ぶ
　まどろっこしいのは分かりますが、実に丁寧に段階を追って指導できるように工夫されているともいえます。

　一度指導要領を見て置かれるのも良いでしょう。

No.11 回答者： kamobedanjoh 回答日時： 2013/12/27 19:36

補足でなら兎も角，お礼文の中に回答者へのご不満を述べられるのは如何なものでしょうか？

気に入る回答が見つからないなら，自分の頭で考えて実践しましょう。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございました。以後気を付けます。

お礼日時：2013/12/28 08:32

No.10 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/12/27 17:50

＞14分の21が正解であることに違和感を感じ、それが1年後には不正解になり2分3が正解になることに困っているのです。

　さらに言えば、帯分数にしなければ不正解と言う場面もあるでしょう。
　ただ、いずれの場合も「約分して、可能なら帯分数にして」と出題されるでしょう。

　いずれにしても、算数、特に分数は小学校ですでに挫折する子が多いのです。

　約分は、
【引用】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ここから
5学年
【計算】
（4）　分数についての理解を深めるとともに，異分母の分数の加法及び減法の意味について理解し，それらを用いることができるようにする。
　　ア　整数及び小数を分数の形に直したり，分数を小数で表したりすること。
　　イ　整数の除法の結果は，分数を用いると常に一つの数として表すことができることを理解すること。
　　ウ　一つの分数の分子及び分母に同じ数を乗除してできる分数は，元の分数と同じ大きさを表すことを理解すること。
　　エ　分数の相等及び大小について考え，大小の比べ方をまとめること。
　　オ　異分母の分数の加法及び減法の計算の仕方を考え，それらの計算ができること。
　　カ　乗数や除数が整数である場合の分数の乗法及び除法の意味について理解し，計算の仕方を考え，それらの計算ができること。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ここまで［第2章　各教科　第3節　算数：文部科学省( http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youry … )］より

　と、最大公約数　最小公倍数　通分　約分とセットで学びます。

2学年では
A　数と計算
　　（1）　数の意味や表し方について理解し，数を用いる能力を伸ばす。
　　・・・【中略】・・・
　　　　オ　1/2，1/4など簡単な分数について知ること。
3学年では
A　数と計算
　　・・・【中略】・・・
　　（6）　分数の意味や表し方について理解できるようにする。
　　　　ア　等分してできる部分の大きさや端数部分の大きさを表すのに分数を用いること。また，分数の表し方について知ること。
　　　　イ　分数は，単位分数の幾つ分かで表せることを知ること。
　　　　ウ　簡単な場合について，分数の加法及び減法の意味について理解し，計算の仕方を考えること。

4学年
（6）　分数についての理解を深めるとともに，同分母の分数の加法及び減法の意味について理解し，それらを用いることができるようにする。
　　ア　簡単な場合について，大きさの等しい分数があることに着目すること。
　　イ　同分母の分数の加法及び減法の計算の仕方を考え，それらの計算ができること。
　この学年で、はじめて「真分数　仮分数　帯分数」を学びます。

★前回書き漏らしましたが、先生だけでなく児童にも色々いるのです。
　指導要領をご覧になると、分数に関しては本当に細かく段階を踏んで指導することになっています。他の加減乗除とのかかわりもあり、分数だけを指導するわけじゃないです。

★ここからは個人的意見
　数学をきちんと指導できる指導者の下で、小学校の段階から数学の本筋を学んでもよいと思います。小学校で微積分、解析、数論、行列をマスターすることも出来ます。しかし、学校と言う場はそれとは違う。

この回答へのお礼

小数が最初の数の拡張だと思いますが、
小数点があるだけで桁の考え方を受け入れることができればクリアできると思います。
その次に来る数の拡張が分数です。整数とのつながりが見えないので、かなりハードルが高いと思います。分数で算数(というか理系科目全体)が嫌いになる小学生が多いのも致し方ないかと思います。
これを細かく段階分けして学習するのはいいと思うのですが、この段階を学年をまたいで学ぶのがいいのか、分数だけを集中的に学ぶのがいいのか、難しいところです。
理系に進むと大概の式は分数の形で表現されますが、文系に進んだり日常生活ではお目にかかることは余りありませんから。
あるいみ分数で挫折するかしないかが文系理系の分かれ目かもしれませんね。

お礼日時：2013/12/28 08:56

No.9 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/12/27 08:37

＞今の小学４年生は、14分の12＋14分の9＝14分の21と習うけど、１年後には、実は14分の12＋14分の9＝2分の3だよと習うことになります。

　そうです。それが大事なのですよ。
もっと顕著な例を挙げるとよくわかると思います。
　低学年では、「それにリンゴが２個乗った皿が三枚加えた時にリンゴの数は？」について、2×3=6は正解だけど3×2=6は間違いだと指導します。それは、掛け算とは同じ数を何回加え続けるかと言う意味ですから、2個+2個+2個=6個を2個×3=6個と式を作ることが指導されます。これは、例えばすでに5炬ある時の計算が5+2×3の式のとき、5+2を先に計算してはならないことの理由です。5+2を先に計算すると、(5+2)個 + (5+2)個 + (5+2)個 と、5個 + 2個 + 2個 + 2個と明らかに違うために理解しやすいです。
　計算には順番がある。!!すなわち 2÷3=3÷2、3-2=2-3とともに・・
　また、小さな数から大きな数を引くことは出来ないとも習います。

　しかし、中学校に上がると負数、逆数(分数)を習い数の拡張と抽象化をしっかり履修した後に始めて、
負数や逆数の導入で
　2-3は2+(-3)と考えることができ
　　2 + (-3) = -1　　　小さい数から大きい数を引くのではなくあくまで加法
　　(-3)+2 = -1 と順番も変えられる。
　2÷3は、2×(1/3と考えて
　　2×(1/3) = (1/3)×2　と順番も変えられる
　いわゆる[交換][結合][分配]が、未知数を含めてすべて同じルールで計算できるようになりましたね。

　このように、理系科目は、まどろっこしくても、きちんと順番を追って正確に学ぶ必要があるのです。
・小さい数から大きい数は引けない⇒負数の概念をしっかり見につければできるようになる
・掛け算を含め計算には順番がある。⇒数の抽象化と負数・逆数という数の拡張を身につければ、順番は変えられる。
・負の数の平方根はない⇒虚数の導入で・・

　分数は、ある数を何等分したかという物として低学年では習います。そして、高学年で公約数・公倍数、数学の結合則に結びつく形で、
(12/14) + (9/14) =(結合)= (12+9)/14 = 21/14 = (3*7)/(2*7) = (3/2)*(7/7) = 3/2 = 1+(1/2)と言う計算を学びます。

　理系との事ですが、これが理系のもっとも肝要なところなのですよ。約分や通分、あるいは移項処理は単なるテクニックですが、そこに流れる理論・考え方を身につけるのが理系科目です。

　もう一点、小学校の先生は数学科や理学部、国(英)文学、芸術学部、体育学部をでられているわけではありません。万能選手ですが、そのプロではない。そのために、数論や群論を正確に理解されているとは限りませんから、マニュアル(指導要領)に従うしかないことも理解してあげてください。数学科を出ても小学校の教諭免許は【原則】取れない。

　今の段階では、きちんと分数の意味(何等分)という意味だけをしっかり身に付けさせてあげなさい。それが、私ども理系出身の親として忘れてはならないことだと思いますよ。
「2×3が正解で3×2をバツにするのはおかしい」とか「掛け算は足し算引き算より先にする約束事」なんて言わないようにしましょう(^^)

この回答へのお礼

＞理系との事ですが、これが理系のもっとも肝要なところなのですよ。約分や通分、あるいは移項処理は単なるテクニックですが、そこに流れる理論・考え方を身につけるのが理系科目です。

通分や移項処理はテクニックです。では、約分はテクニックなのでしょうか？
約分は分数を表現する上での約束事ではないのでしょうか？
私が小学生の頃は分数は既約分数であることが求められていたと思います(ここが記憶違いであったらすべての前提が崩れますが)。1＋1＝2であるのと同じレベルで分数＝既約分数であったと思います。
なので、14分の21が正解であることに違和感を感じ、それが1年後には不正解になり2分3が正解になることに困っているのです。
約分が分数について新しい概念を導入した結果生じたのなら正解だったものが不正解になっても理解できます。しかし約分の意味を考えても簡単な表現にする以外に意味がなく、決まりであるとしか言いようがありません。
それならば分数という概念を学ぶ最初の段階で約分を学ぶべきだと思います。

小学校の先生は全科目を受け持たなければならないので苦手分野があることは仕方ないし、基本的に文系を専攻した人が多いのも確かです。そこに理系離れの原因があると見て理系科目に専任の補助教師をつけるところもあります。
理系的思考を養うにはなぜなぜを繰り返し、物事の裏にある原理原則を考えることだと思います。途中で約束事が変わるのは混乱を招くだけです。ただし負の数のように新たな概念を導入することで発展的に約束事が変わることは必要だと思います。
約分は新たな概念に当たるのでしょうか？

当初の質問からだいぶ離れてきたのでボチボチ締め切ろうと思います。
補足回答があればお早めにお願いします。

お礼日時：2013/12/27 09:56

No.8 回答者： Saturn5 回答日時： 2013/12/26 21:09

私は教育者として以下のように考えています。

質問者様が私への補足としてあげてくださった
（１／２）＋（１／３）　の計算は小学校の算数がマスターできているか
の重要な分かれ道になっている計算です。

これには、最小公倍数や通分、約分などの考え方が必要であり、
ぬるま湯に浸かっていた小学生にはハードルが高いものです。

ですから、この問題の初歩として
（１／５）＋（２／５）などの同分母の問題があるべきだと思います。
これならばほとんどの子供にわかります。

人間の心理として最初から大きい壁にあたると逃げてしまいます。
最初に小さな階段にしておいて、やる気を出させ、次に大きな段を上らせると
いう工夫をするのが教育ではないでしょうか？

学年が変わって急に難しい内容を習う小学生が落ちこぼれていくのが目に見えます。
指導要領は単元を各学年に細かく配分しすぎです。
図形は図形、計算は計算というようにもっと大きなブロックにした方がいいです。
今のシステムでは塾に通うなどの腹腔の学習機会を持たない子供は、よほどでなければ
落ちこぼれます。ブロックを固めると、半分の分野は助かります。

この回答へのお礼

確かに異分母の足し算で算数嫌いになる小学生はたくさんいたと思います。その反省が約分のない同分母の足し算なんだろうと思います。
しかし翌年には間違いにされる考え方を持ち出すのはいかがなものかと思います。

今回の丸つけでさらになぞなことがもう一点。
4分の1＋4分の3と4分の5＋4分の3の計算です。約分がないとすれば4分の1＋4分の3＝4分の4であり4分の5＋4分の3＝4分の8で正解のはずです。しかし正解は4分の1＋4分の3＝1であり4分の5＋4分の3＝2なのです。
よくわかりません。

お礼日時：2013/12/26 23:56

No.7 回答者： kamobedanjoh 回答日時： 2013/12/26 17:37

昔は確かに約分は分数計算の初歩的基本でした。

しかし，分母に特別な意味がある場合には，分母をそのままにしておく必要があります。

設問を次の場合に当てはめてみます。
１４人の生徒の内，母親と同居している子が１２人，父親と同居している子は９人，どちらかの親と同居している子の延べ人数は２１人となります。
この結果から，単身赴任とか離別などの理由で両親と暮らせていない子の数も簡単に算出されますが，分母が変更されてしまうと「何人の児童について調べたのか」という大切な母数が失われてしまいます。物理などの実験では，この「母数」に大きな意味があるため，約分することが却って不適切なこともあります。

分数には，約分が不適切な場合も有り得ることを，幼い内に教えようとしているのかも知れません。
下手すると，大人の方が一知半解なのかも知れません。

この回答へのお礼

私も理系人間なので分母が重要な意味を持つ場合があるのは認めます。ただ回答者さんの例題に関して言えばまったく意味を持ちませんが…。

小学4年生にとっては14分の21が正解であり、それ以外には答えがありません。しかし1年後には2分3のみが正解になります。14分の21は不正解になります。じゃあなんで14分の21を教えたの？嘘を教えたの？
この疑問にどう答えたらいいのでしょう？

お礼日時：2013/12/26 20:36

No.6 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/26 17:17

＞　困ったことに現在の小学４年生では14分の21が正解なのです。

＞　教科書でもそう習うようです。なので違和感を感じたのです。

解答に １／２ と書いて、減点されたら困るけど、
正解にしてくれたら、それは約分と言って、５年で習うとだから
しなくても正解です
５年になって習うことを習わないでできるなんてすごいなぁ
とでも褒めておけばよいです

数学だけでなく、理科とか似たようなことたくさんあった気がします

この回答への補足

＞数学だけでなく、理科とか似たようなことたくさんあった気がします

例えばどんなことがあるでしょう？

今年は14分の21だけが正解、でも来年からは2分3だけが正解で14分の21は間違いになるんですよ。そんな例ありましたか？

補足日時：2013/12/26 21:01

この回答へのお礼

子供は当然ながら14分の21以外の答えを知りません。ただ丸つけをするときに違和感を感じただけです。

お礼日時：2013/12/26 19:52

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/12/26 16:11

4年生では、約分は習っていないはずです。

実は帯分数は中学校以上では、まず使いませんし。科学技術計算では、そもそも約分もしないことがあります。最終的にその値を利用した結果で約分されることが多いから・・

この回答へのお礼

30年前には分数は既約分数で書くと教わっていたと思うので、今回の質問をした次第です。
ということは今の小学４年生は、14分の12＋14分の9＝14分の21と習うけど、１年後には、実は14分の12＋14分の9＝2分の3だよと習うことになります。
かえって混乱を招きそうで…。

お礼日時：2013/12/26 16:41

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/26 15:35

No.2 です

まず、文部科学省の新学習指導要領を調べずに回答しており、ごめんなさい

新学習指導要領・生きる力
第2章　各教科　第3節　算数
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youry …

を見ると、「約分」 を習うのが 「第５学年」 なので、４年生の解答は約分しなくても良いかもしれません

でも、僕が小学生の頃、分数とか小数とかいつも絵に描いてました

絵に　7/14 を描くと、僕なら 「あ、これ 1/2 だ！」 と思うに違いありません

別に頭が良いから、そう思うのではなく、絵に描かないとピンとこないので、
絵に描いて考える子供なら、みんなそうなんでないかな？

お子さんには、そんな感じで教えても良いと思います

この回答へのお礼

感覚的には14分の7が2分1であることは理解しているようです。
なぜ一緒であるかはおいておいて…。

お礼日時：2013/12/26 16:34

No.3 回答者： Saturn5 回答日時： 2013/12/26 15:28

学校の教員をしていますが、中高の理科が担当なので小学校の算数がどのように

なっているかはわかりません。
指導要領を確認すると、算数、理科は平成２１年度から変更があったようです。
同分母の分数計算は小５から小４に移動になったようです。
異分母の分数計算や約分などは小６から小５に移動になったようです。
http://www.shizuoka.ac.jp/kyouyou/License_renewa …

私は分数の足し算よりも約分が先のように思います。
約分や通分ができないと分数の足し算も意味がないからです。
同分母の足し算を先にやって何の意味があるのでしょうか？
分母を無視すれば終わりです。
異分母の計算との違いを感じてこそ意味があるものだと思います。

この回答へのお礼

恐らく2分の1＋3分の1を5分の2と計算する子供が多いので、まずは同分母の足し算を学び、分数の足し算は分母を揃えるんだということを理解させたいがための処置だと思うのですが…。
しかし14分の21は気持ち悪いです。

お礼日時：2013/12/26 16:31