数学 座標平面 軌跡

座標平面上の点Pから放物線Ｙ＝Ｘ(2)へ２本の接戦が引けて、かつ、この２本の接戦が直交するような点Pの軌跡を求めよ。

よろしくお願いします 

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/01/23 23:01

＞Ｙ＝Ｘ(2)？

y=x^2と解釈します。

接点をU(u,u^2),V(v,v^2)とするとUにおける接線は

y-u^2=y'(u)(x-u)=2u(x-u)

つまり

y=2ux-u^2 　　　　 (1)

Vにおける接線も同様に

y=2vx-v^2 (2)


(1)、(2)が直交するので

2u*2v=-1

uv=-1/4 (3)

(1)、(2)を連立しての交点P(X,Y)を求める。u≠vである。

X=(u+v)/2　　　　(4)

Y=uv　　　　　　　(5)

通常は(3)、(4)、(5)からu,vを消去してY=f(X)の形にすればこれが軌跡である。

この問題では

(3),(5)より

Y=-1/4 (6)

が軌跡になる。u,vに特に制限はないのでxの変域は

-∞＜x＜∞ (7)

である。