3次関数と、直線が変曲点で接する時、3重解を持つのですか？

3次関数と、直線が変曲点で接する時、3重解を持つのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： cage64 回答日時： 2019/09/23 14:40

そうなります。

x=p で変曲点をもつ3次曲線をf(x)とします。すると、
f’’(x)=6a(x-p) (a≠0;6aでなく、aとしてもいいですが、計算を楽にするためにaにします）
なので、積分して、
f’(x)=3a(x-p)^2+b
となります。これを再び積分すると、
f(x)=a(x-p)^3+b(x-p)+c (bx+C とするのが普通ですが、これでもかまいません）
となります。
f’(p)=b, f(p)=c だから、x=pにおける接線の方程式は
y-c=b(x-p)
です。したがって、これと y=a(x-p)^3+b(x-p)+c と連立させると、
a(x-p)^3=0
となり、x=p は3重解です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！理解することができ、とてもすっきりしました。

お礼日時：2019/09/23 16:08

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/09/23 15:40

＃１修正

接線ではない直線と3次曲線が交点３こを持つ場合について
直線の式をy=ax+b,3次曲線の式をy=f(x)とし、グラフ上で３つの交点を左から順にA,B,Cとすると
2式を連立方程式にして得られる、f(x)=ax+b⇔f(x)-(ax+b)=0　の解Xa,Xb,XcはそれぞれA,B,Cのx座標を表しますが、
#1に示した通り、Bは固定でAをBに近づけていくとやがてA,Bは重なります
（このときCの位置も変わりますが、通常はCがA,Bに重なることはありませんから、この段階ではCのことはあまり意識しないこととします）
離れた2点A,Bが近づく様子をイメージしてもらえば分かりますが、（B固定で）AをBに近づければ近づけるほど
直線ABの傾きと切片は、Bの接線の傾き、切片に近づいて行き、
AがBと重なった時直線ABはBの接線と一致します。
このとき、f(x)-(ax+b)=0は3次方程式なので解はXa,Xb,Xcの3つですが、このうちXaとXbは同じ座標なので2重解となります。
ただ、Bが変曲点のときは特殊です。
3次曲線のグラフは、変曲点に関して点対称ですから
Bを変曲点の位置に固定し、AをBに重ねる場合、図形の対称性からAがBに重なればCもBに重なります
このときも、f(x)-(ax+b)=0は3次方程式なので解はXa,Xb,Xcの3つですが、いずれも同じ座標なので３重解となります。

この回答へのお礼

変曲点で3重解となるのは点対称だからなんですね！感覚的に納得できました。ありがとうございます

お礼日時：2019/09/23 16:03

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/09/23 11:44

まず、曲線と直線の交点2つの場合をイメージ

次にこの交点を互いに近づけていくことをイメージ
するとやがて2交点は１つに重なります
この2交点が重なった状態のとき、交点は１つとなりこれを接点と呼ぶ
また、この状態になった時の直線を接線と呼ぶのです
本来２つある交点が1か所に重なった状態ですから、曲線と直線（接線）の解(接点の座標を表わす解)は2重解です
これは変曲点か、そうでないかという事には無関係
また、2次関数でも、3次関数でも4次関数でも同じです